HairBSDF, gamma for a refracted ray

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Time: 18.7s

Precision: binary32

Cost: 6820

\[\left(\left(-1 \leq sinTheta_O \land sinTheta_O \leq 1\right) \land \left(-1 \leq h \land h \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq eta \land eta \leq 10\right)\]

Math

\[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta_O \cdot sinTheta_O}{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}\right) \]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;eta \cdot eta \leq 9.99994610111476 \cdot 10^{-41}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\frac{h}{eta}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{\left(eta + sinTheta_O\right) \cdot \left(eta - sinTheta_O\right)}}\right)\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (sinTheta_O h eta)
 :precision binary32
 (asin
  (/
   h
   (sqrt
    (-
     (* eta eta)
     (/
      (* sinTheta_O sinTheta_O)
      (sqrt (- 1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O)))))))))

↓

(FPCore (sinTheta_O h eta)
 :precision binary32
 (if (<= (* eta eta) 9.99994610111476e-41)
   (asin (/ h eta))
   (asin (/ h (sqrt (* (+ eta sinTheta_O) (- eta sinTheta_O)))))))

C

float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	return asinf((h / sqrtf(((eta * eta) - ((sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrtf((1.0f - (sinTheta_O * sinTheta_O))))))));
}

↓

float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	float tmp;
	if ((eta * eta) <= 9.99994610111476e-41f) {
		tmp = asinf((h / eta));
	} else {
		tmp = asinf((h / sqrtf(((eta + sinTheta_O) * (eta - sinTheta_O)))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(4) function code(sintheta_o, h, eta)
    real(4), intent (in) :: sintheta_o
    real(4), intent (in) :: h
    real(4), intent (in) :: eta
    code = asin((h / sqrt(((eta * eta) - ((sintheta_o * sintheta_o) / sqrt((1.0e0 - (sintheta_o * sintheta_o))))))))
end function

↓

real(4) function code(sintheta_o, h, eta)
    real(4), intent (in) :: sintheta_o
    real(4), intent (in) :: h
    real(4), intent (in) :: eta
    real(4) :: tmp
    if ((eta * eta) <= 9.99994610111476e-41) then
        tmp = asin((h / eta))
    else
        tmp = asin((h / sqrt(((eta + sintheta_o) * (eta - sintheta_o)))))
    end if
    code = tmp
end function

Julia

function code(sinTheta_O, h, eta)
	return asin(Float32(h / sqrt(Float32(Float32(eta * eta) - Float32(Float32(sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(sinTheta_O * sinTheta_O))))))))
end

↓

function code(sinTheta_O, h, eta)
	tmp = Float32(0.0)
	if (Float32(eta * eta) <= Float32(9.99994610111476e-41))
		tmp = asin(Float32(h / eta));
	else
		tmp = asin(Float32(h / sqrt(Float32(Float32(eta + sinTheta_O) * Float32(eta - sinTheta_O)))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp = code(sinTheta_O, h, eta)
	tmp = asin((h / sqrt(((eta * eta) - ((sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrt((single(1.0) - (sinTheta_O * sinTheta_O))))))));
end

↓

function tmp_2 = code(sinTheta_O, h, eta)
	tmp = single(0.0);
	if ((eta * eta) <= single(9.99994610111476e-41))
		tmp = asin((h / eta));
	else
		tmp = asin((h / sqrt(((eta + sinTheta_O) * (eta - sinTheta_O)))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (*.f32 eta eta) < 9.99995e-41

   1. Initial program 24.8

      \[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta_O \cdot sinTheta_O}{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}\right) \]

   2. Taylor expanded in eta around inf 2.8

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\color{blue}{eta}}\right) \]

   if 9.99995e-41 < (*.f32 eta eta)

   1. Initial program 0.1

      \[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta_O \cdot sinTheta_O}{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}\right) \]

   2. Taylor expanded in sinTheta_O around 0 0.2

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{\color{blue}{{eta}^{2} + -1 \cdot {sinTheta_O}^{2}}}}\right) \]

   3. Simplified 0.2

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{\color{blue}{eta \cdot eta - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}\right) \]
      Proof
      (-.f32 (*.f32 eta eta) (*.f32 sinTheta_O sinTheta_O)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
      (-.f32 (Rewrite<= unpow2_binary32 (pow.f32 eta 2)) (*.f32 sinTheta_O sinTheta_O)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
      (-.f32 (pow.f32 eta 2) (Rewrite<= unpow2_binary32 (pow.f32 sinTheta_O 2))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
      (Rewrite<= unsub-neg_binary32 (+.f32 (pow.f32 eta 2) (neg.f32 (pow.f32 sinTheta_O 2)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
      (+.f32 (pow.f32 eta 2) (Rewrite<= mul-1-neg_binary32 (*.f32 -1 (pow.f32 sinTheta_O 2)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error

   4. Applied egg-rr 0.2

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{\color{blue}{\left(eta - sinTheta_O\right) \cdot \left(eta + sinTheta_O\right)}}}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 0.4

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;eta \cdot eta \leq 9.99994610111476 \cdot 10^{-41}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\frac{h}{eta}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{\left(eta + sinTheta_O\right) \cdot \left(eta - sinTheta_O\right)}}\right)\\ \end{array} \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.5
Cost	9888

\[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta + sinTheta_O} \cdot \sqrt{eta - sinTheta_O}}\right) \]

Alternative 2
Error	0.7
Cost	6688

\[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\mathsf{fma}\left(-0.5, sinTheta_O \cdot \frac{sinTheta_O}{eta}, eta\right)}\right) \]

Alternative 3
Error	1.5
Cost	3296

\[\sin^{-1} \left(\frac{h}{eta}\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022302 
(FPCore (sinTheta_O h eta)
  :name "HairBSDF, gamma for a refracted ray"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (<= -1.0 sinTheta_O) (<= sinTheta_O 1.0)) (and (<= -1.0 h) (<= h 1.0))) (and (<= 0.0 eta) (<= eta 10.0)))
  (asin (/ h (sqrt (- (* eta eta) (/ (* sinTheta_O sinTheta_O) (sqrt (- 1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O)))))))))