2-ancestry mixing, negative discriminant

Average Error: 1.0 → 1.3

Time: 6.2s

Precision: binary64

Cost: 90752

Math

\[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

↓

\[\begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\\ 2 \cdot \left(\log \left({\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, t_0, \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}}\right)}^{2}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + 0.3333333333333333 \cdot t_0\right)}}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

↓

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (/ g h))))
   (*
    2.0
    (+
     (log
      (pow
       (cbrt
        (exp (cos (fma 0.3333333333333333 t_0 (* PI 0.6666666666666666)))))
       2.0))
     (log
      (cbrt
       (exp
        (cos (+ (* PI 0.6666666666666666) (* 0.3333333333333333 t_0))))))))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

↓

double code(double g, double h) {
	double t_0 = acos((g / h));
	return 2.0 * (log(pow(cbrt(exp(cos(fma(0.3333333333333333, t_0, (((double) M_PI) * 0.6666666666666666))))), 2.0)) + log(cbrt(exp(cos(((((double) M_PI) * 0.6666666666666666) + (0.3333333333333333 * t_0)))))));
}

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

↓

function code(g, h)
	t_0 = acos(Float64(g / h))
	return Float64(2.0 * Float64(log((cbrt(exp(cos(fma(0.3333333333333333, t_0, Float64(pi * 0.6666666666666666))))) ^ 2.0)) + log(cbrt(exp(cos(Float64(Float64(pi * 0.6666666666666666) + Float64(0.3333333333333333 * t_0))))))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[ArcCos[N[(g / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(2.0 * N[(N[Log[N[Power[N[Power[N[Exp[N[Cos[N[(0.3333333333333333 * t$95$0 + N[(Pi * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[Log[N[Power[N[Exp[N[Cos[N[(N[(Pi * 0.6666666666666666), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 1.0

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

2. Applied egg-rr 2.3

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + 2 \cdot \pi\right)\right)} \]

3. Applied egg-rr 1.3

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\log \left({\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}}\right)}^{2}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}}\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in g around 0 1.3

   \[\leadsto 2 \cdot \left(\log \left({\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}}\right)}^{2}\right) + \log \left(\sqrt[3]{\color{blue}{e^{\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}}}\right)\right) \]

5. Final simplification 1.3

   \[\leadsto 2 \cdot \left(\log \left({\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), \pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}}\right)}^{2}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)}}\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	1.0
Cost	19904

\[2 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

Alternative 2
Error	2.3
Cost	19840

\[2 \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + 2 \cdot \pi\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022300 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))