math.sin on complex, imaginary part

Average Error: 57.9 → 0.8

Time: 15.1s

Precision: binary64

Cost: 20032

Math

\[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]

↓

\[\left(\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) - im\right) \cdot \cos re \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (*
  (-
   (+
    (* -0.008333333333333333 (pow im 5.0))
    (* -0.16666666666666666 (pow im 3.0)))
   im)
  (cos re)))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
}

↓

double code(double re, double im) {
	return (((-0.008333333333333333 * pow(im, 5.0)) + (-0.16666666666666666 * pow(im, 3.0))) - im) * cos(re);
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * cos(re)) * (exp((0.0d0 - im)) - exp(im))
end function

↓

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = ((((-0.008333333333333333d0) * (im ** 5.0d0)) + ((-0.16666666666666666d0) * (im ** 3.0d0))) - im) * cos(re)
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.cos(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) - Math.exp(im));
}

↓

public static double code(double re, double im) {
	return (((-0.008333333333333333 * Math.pow(im, 5.0)) + (-0.16666666666666666 * Math.pow(im, 3.0))) - im) * Math.cos(re);
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.cos(re)) * (math.exp((0.0 - im)) - math.exp(im))

↓

def code(re, im):
	return (((-0.008333333333333333 * math.pow(im, 5.0)) + (-0.16666666666666666 * math.pow(im, 3.0))) - im) * math.cos(re)

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) - exp(im)))
end

↓

function code(re, im)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(-0.008333333333333333 * (im ^ 5.0)) + Float64(-0.16666666666666666 * (im ^ 3.0))) - im) * cos(re))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
end

↓

function tmp = code(re, im)
	tmp = (((-0.008333333333333333 * (im ^ 5.0)) + (-0.16666666666666666 * (im ^ 3.0))) - im) * cos(re);
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[re_, im_] := N[(N[(N[(N[(-0.008333333333333333 * N[Power[im, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.16666666666666666 * N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im), $MachinePrecision] * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	57.9
Target	0.2
Herbie	0.8

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\cos re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Initial program 57.9

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]

2. Taylor expanded in im around 0 0.8

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot im + \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{5} + -0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right)\right)} \]

3. Taylor expanded in re around inf 0.8

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(\cos re \cdot \left(-2 \cdot im + \left(-0.016666666666666666 \cdot {im}^{5} + -0.3333333333333333 \cdot {im}^{3}\right)\right)\right)} \]

4. Simplified 0.8

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right) + {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \cos re} \]
   Proof
   (*.f64 (+.f64 (-.f64 (*.f64 (pow.f64 im 5) -1/120) im) (*.f64 (pow.f64 im 3) -1/6)) (cos.f64 re)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (*.f64 (+.f64 (-.f64 (Rewrite<= *-commutative_binary64 (*.f64 -1/120 (pow.f64 im 5))) im) (*.f64 (pow.f64 im 3) -1/6)) (cos.f64 re)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (*.f64 (+.f64 (Rewrite<= unsub-neg_binary64 (+.f64 (*.f64 -1/120 (pow.f64 im 5)) (neg.f64 im))) (*.f64 (pow.f64 im 3) -1/6)) (cos.f64 re)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (*.f64 (+.f64 (+.f64 (*.f64 -1/120 (pow.f64 im 5)) (Rewrite=> neg-mul-1_binary64 (*.f64 -1 im))) (*.f64 (pow.f64 im 3) -1/6)) (cos.f64 re)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (*.f64 (+.f64 (+.f64 (*.f64 -1/120 (pow.f64 im 5)) (*.f64 (Rewrite<= metadata-eval (*.f64 1/2 -2)) im)) (*.f64 (pow.f64 im 3) -1/6)) (cos.f64 re)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (*.f64 (+.f64 (+.f64 (*.f64 -1/120 (pow.f64 im 5)) (Rewrite<= associate-*r*_binary64 (*.f64 1/2 (*.f64 -2 im)))) (*.f64 (pow.f64 im 3) -1/6)) (cos.f64 re)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (*.f64 (+.f64 (+.f64 (*.f64 (Rewrite<= metadata-eval (*.f64 1/2 -1/60)) (pow.f64 im 5)) (*.f64 1/2 (*.f64 -2 im))) (*.f64 (pow.f64 im 3) -1/6)) (cos.f64 re)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (*.f64 (+.f64 (+.f64 (Rewrite<= associate-*r*_binary64 (*.f64 1/2 (*.f64 -1/60 (pow.f64 im 5)))) (*.f64 1/2 (*.f64 -2 im))) (*.f64 (pow.f64 im 3) -1/6)) (cos.f64 re)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (*.f64 (+.f64 (Rewrite<= distribute-lft-in_binary64 (*.f64 1/2 (+.f64 (*.f64 -1/60 (pow.f64 im 5)) (*.f64 -2 im)))) (*.f64 (pow.f64 im 3) -1/6)) (cos.f64 re)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (*.f64 (+.f64 (*.f64 1/2 (Rewrite<= +-commutative_binary64 (+.f64 (*.f64 -2 im) (*.f64 -1/60 (pow.f64 im 5))))) (*.f64 (pow.f64 im 3) -1/6)) (cos.f64 re)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (*.f64 (+.f64 (Rewrite<= *-commutative_binary64 (*.f64 (+.f64 (*.f64 -2 im) (*.f64 -1/60 (pow.f64 im 5))) 1/2)) (*.f64 (pow.f64 im 3) -1/6)) (cos.f64 re)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (*.f64 (+.f64 (*.f64 (+.f64 (*.f64 -2 im) (*.f64 -1/60 (pow.f64 im 5))) 1/2) (*.f64 (pow.f64 im 3) (Rewrite<= metadata-eval (*.f64 -1/3 1/2)))) (cos.f64 re)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (*.f64 (+.f64 (*.f64 (+.f64 (*.f64 -2 im) (*.f64 -1/60 (pow.f64 im 5))) 1/2) (Rewrite<= associate-*l*_binary64 (*.f64 (*.f64 (pow.f64 im 3) -1/3) 1/2))) (cos.f64 re)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (*.f64 (+.f64 (*.f64 (+.f64 (*.f64 -2 im) (*.f64 -1/60 (pow.f64 im 5))) 1/2) (*.f64 (Rewrite<= *-commutative_binary64 (*.f64 -1/3 (pow.f64 im 3))) 1/2)) (cos.f64 re)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (*.f64 (Rewrite<= distribute-rgt-in_binary64 (*.f64 1/2 (+.f64 (+.f64 (*.f64 -2 im) (*.f64 -1/60 (pow.f64 im 5))) (*.f64 -1/3 (pow.f64 im 3))))) (cos.f64 re)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (*.f64 (*.f64 1/2 (Rewrite<= associate-+r+_binary64 (+.f64 (*.f64 -2 im) (+.f64 (*.f64 -1/60 (pow.f64 im 5)) (*.f64 -1/3 (pow.f64 im 3)))))) (cos.f64 re)): 1 points increase in error, 1 points decrease in error
   (Rewrite<= associate-*r*_binary64 (*.f64 1/2 (*.f64 (+.f64 (*.f64 -2 im) (+.f64 (*.f64 -1/60 (pow.f64 im 5)) (*.f64 -1/3 (pow.f64 im 3)))) (cos.f64 re)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (*.f64 1/2 (Rewrite<= *-commutative_binary64 (*.f64 (cos.f64 re) (+.f64 (*.f64 -2 im) (+.f64 (*.f64 -1/60 (pow.f64 im 5)) (*.f64 -1/3 (pow.f64 im 3))))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error

5. Taylor expanded in re around inf 0.8

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) - im\right) \cdot \cos re} \]

6. Final simplification 0.8

   \[\leadsto \left(\left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} + -0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) - im\right) \cdot \cos re \]

Alternatives

Alternative 1
Error	1.3
Cost	13312

\[\cos re \cdot \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} - im\right) \]

Alternative 2
Error	0.9
Cost	13312

\[\cos re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right) \]

Alternative 3
Error	1.3
Cost	6656

\[\cos re \cdot \left(-im\right) \]

Alternative 4
Error	29.1
Cost	128

\[-im \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022296 
(FPCore (re im)
  :name "math.sin on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (cos re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))