UniformSampleCone 2

Average Error: 0.4 → 0.4

Time: 24.7s

Precision: binary32

Cost: 30752

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

↓

\[\begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t_1 := \sqrt{1 + t_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\\ \left(\left(\cos \left(\sqrt[3]{{\left(uy \cdot 2\right)}^{3} \cdot {\pi}^{3}}\right) \cdot t_1\right) \cdot xi + \left(t_1 \cdot \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + t_0 \cdot zi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+
   (*
    (*
     (cos (* (* uy 2.0) PI))
     (sqrt
      (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)))))
    xi)
   (*
    (*
     (sin (* (* uy 2.0) PI))
     (sqrt
      (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)))))
    yi))
  (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))

↓

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
        (t_1 (sqrt (+ 1.0 (* t_0 (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))))
   (+
    (+
     (* (* (cos (cbrt (* (pow (* uy 2.0) 3.0) (pow PI 3.0)))) t_1) xi)
     (* (* t_1 (sin (* (* uy 2.0) PI))) yi))
    (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (((cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * (((1.0f - ux) * maxCos) * ux))))) * xi) + ((sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * (((1.0f - ux) * maxCos) * ux))))) * yi)) + ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * zi);
}

↓

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * ((1.0f - ux) * maxCos);
	float t_1 = sqrtf((1.0f + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f))))));
	return (((cosf(cbrtf((powf((uy * 2.0f), 3.0f) * powf(((float) M_PI), 3.0f)))) * t_1) * xi) + ((t_1 * sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI)))) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux))))) * xi) + Float32(Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux))))) * yi)) + Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * zi))
end

↓

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_0 * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(cbrt(Float32((Float32(uy * Float32(2.0)) ^ Float32(3.0)) * (Float32(pi) ^ Float32(3.0))))) * t_1) * xi) + Float32(Float32(t_1 * sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi)))) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

Derivation

1. Initial program 0.4

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Applied egg-rr 0.4

   \[\leadsto \left(\left(\cos \color{blue}{\left(\sqrt[3]{{\left(uy \cdot 2\right)}^{3} \cdot {\pi}^{3}}\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Final simplification 0.4

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\sqrt[3]{{\left(uy \cdot 2\right)}^{3} \cdot {\pi}^{3}}\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot xi + \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.4
Cost	27488

\[\begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t_1 := \sqrt{1 + t_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\\ t_0 \cdot zi + \left(\left(t_1 \cdot \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + xi \cdot \left(t_1 \cdot \cos \left(e^{\log \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right)\right)\right) \end{array} \]

Alternative 2
Error	0.4
Cost	24064

\[\begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t_1 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ t_0 \cdot zi + \left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + t_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos t_1\right) + \left(yi \cdot \sqrt{1 - {t_0}^{2}}\right) \cdot \sin t_1\right) \end{array} \]

Alternative 3
Error	0.4
Cost	21088

\[\begin{array}{l} t_0 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ t_1 := \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\\ \left(\left(t_1 \cdot \sin t_0\right) \cdot yi + xi \cdot \left(t_1 \cdot \cos t_0\right)\right) + zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux - ux \cdot ux\right)\right) \end{array} \]

Alternative 4
Error	0.4
Cost	21088

\[\begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t_1 := \sqrt{1 + t_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ t_0 \cdot zi + \left(\left(t_1 \cdot \sin t_2\right) \cdot yi + xi \cdot \left(t_1 \cdot \cos t_2\right)\right) \end{array} \]

Alternative 5
Error	0.4
Cost	21024

\[\begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\\ t_1 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ t_1 \cdot zi + \left(\left(\sqrt{1 + t_1 \cdot t_0} \cdot \sin t_2\right) \cdot yi + xi \cdot \left(\cos t_2 \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot t_0}\right)\right) \end{array} \]

Alternative 6
Error	0.4
Cost	17696

\[\begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t_1 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ t_0 \cdot zi + \left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + t_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos t_1\right) + \sin t_1 \cdot \left(yi + \left(yi \cdot -0.5\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)\right) \end{array} \]

Alternative 7
Error	0.4
Cost	17312

\[\begin{array}{l} t_0 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos t_0\right) + yi \cdot \sin t_0\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \end{array} \]

Alternative 8
Error	0.4
Cost	17312

\[\begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t_1 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ t_0 \cdot zi + \left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + t_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos t_1\right) + yi \cdot \sin t_1\right) \end{array} \]

Alternative 9
Error	1.3
Cost	17184

\[\begin{array}{l} t_0 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos t_0\right) + yi \cdot \sin t_0\right) + zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right) \end{array} \]

Alternative 10
Error	3.3
Cost	14112

\[\begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t_0 \cdot zi + \left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + t_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \end{array} \]

Alternative 11
Error	3.3
Cost	14112

\[\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \]

Alternative 12
Error	4.2
Cost	13984

\[maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) - \left(\left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot -2 - xi \cdot \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right) \]

Alternative 13
Error	4.2
Cost	13856

\[maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + \left(2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + xi \cdot \left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022295 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))