Octave 3.8, oct_fill_randg

Average Error: 0.1 → 0.1

Time: 11.4s

Precision: binary64

Cost: 19968

Math

\[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

↓

\[\mathsf{fma}\left({\left(\mathsf{fma}\left(9, a, -3\right)\right)}^{-0.5} \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right), rand, a + -0.3333333333333333\right) \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (*
  (- a (/ 1.0 3.0))
  (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))

↓

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (fma
  (* (pow (fma 9.0 a -3.0) -0.5) (+ a -0.3333333333333333))
  rand
  (+ a -0.3333333333333333)))

C

double code(double a, double rand) {
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand));
}

↓

double code(double a, double rand) {
	return fma((pow(fma(9.0, a, -3.0), -0.5) * (a + -0.3333333333333333)), rand, (a + -0.3333333333333333));
}

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a - Float64(1.0 / 3.0)) * Float64(1.0 + Float64(Float64(1.0 / sqrt(Float64(9.0 * Float64(a - Float64(1.0 / 3.0))))) * rand)))
end

↓

function code(a, rand)
	return fma(Float64((fma(9.0, a, -3.0) ^ -0.5) * Float64(a + -0.3333333333333333)), rand, Float64(a + -0.3333333333333333))
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(1.0 / N[Sqrt[N[(9.0 * N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * rand), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[a_, rand_] := N[(N[(N[Power[N[(9.0 * a + -3.0), $MachinePrecision], -0.5], $MachinePrecision] * N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * rand + N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 0.1

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

2. Applied egg-rr 0.1

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(9, a, -3\right)\right)}^{-0.5}, rand, a + -0.3333333333333333\right)} \]

3. Final simplification 0.1

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left({\left(\mathsf{fma}\left(9, a, -3\right)\right)}^{-0.5} \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right), rand, a + -0.3333333333333333\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.1
Cost	13504

\[\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}\right) \]

Alternative 2
Error	0.1
Cost	7232

\[\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{-3 + a \cdot 9}}\right) \]

Alternative 3
Error	5.4
Cost	7112

\[\begin{array}{l} t_0 := rand \cdot \sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 0.1111111111111111}\\ \mathbf{if}\;rand \leq -2.759073220749371 \cdot 10^{+79}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;rand \leq 1.2294906374346714 \cdot 10^{+101}:\\ \;\;\;\;a + -0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]

Alternative 4
Error	5.4
Cost	7112

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -2.759073220749371 \cdot 10^{+79}:\\ \;\;\;\;\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot \left(rand \cdot 0.3333333333333333\right)\\ \mathbf{elif}\;rand \leq 1.2294906374346714 \cdot 10^{+101}:\\ \;\;\;\;a + -0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;rand \cdot \sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 0.1111111111111111}\\ \end{array} \]

Alternative 5
Error	0.2
Cost	7104

\[-0.3333333333333333 + \left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}\right)\right) \]

Alternative 6
Error	18.9
Cost	192

\[a + -0.3333333333333333 \]

Alternative 7
Error	19.6
Cost	64

\[a \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022295 
(FPCore (a rand)
  :name "Octave 3.8, oct_fill_randg"
  :precision binary64
  (* (- a (/ 1.0 3.0)) (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))