UniformSampleCone 2

Average Error: 0.3 → 0.3

Time: 24.1s

Precision: binary32

Cost: 21088

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

↓

\[\begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t_1 := \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t_2 \cdot t_1\right) \cdot xi + \left(t_1 \cdot \sin t_2\right) \cdot yi\right) + \left(maxCos \cdot \left(ux - ux \cdot ux\right)\right) \cdot zi \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+
   (*
    (*
     (cos (* (* uy 2.0) PI))
     (sqrt
      (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)))))
    xi)
   (*
    (*
     (sin (* (* uy 2.0) PI))
     (sqrt
      (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)))))
    yi))
  (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))

↓

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+
    (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* t_1 (sin t_2)) yi))
    (* (* maxCos (- ux (* ux ux))) zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (((cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * (((1.0f - ux) * maxCos) * ux))))) * xi) + ((sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * (((1.0f - ux) * maxCos) * ux))))) * yi)) + ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * zi);
}

↓

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * ((1.0f - ux) * maxCos);
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((t_1 * sinf(t_2)) * yi)) + ((maxCos * (ux - (ux * ux))) * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux))))) * xi) + Float32(Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux))))) * yi)) + Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * zi))
end

↓

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(t_1 * sin(t_2)) * yi)) + Float32(Float32(maxCos * Float32(ux - Float32(ux * ux))) * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (((cos(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - ((((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * (((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux))))) * xi) + ((sin(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - ((((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * (((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux))))) * yi)) + ((((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * zi);
end

↓

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos);
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((t_1 * sin(t_2)) * yi)) + ((maxCos * (ux - (ux * ux))) * zi);
end

Derivation

1. Initial program 0.3

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Applied egg-rr 0.3

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\frac{\left(1 - ux \cdot ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)}{1 + ux}} \cdot zi \]

3. Taylor expanded in ux around 0 0.3

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + maxCos \cdot ux\right)} \cdot zi \]

4. Simplified 0.3

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux - ux \cdot ux\right)\right)} \cdot zi \]
   Proof
   (*.f32 maxCos (-.f32 ux (*.f32 ux ux))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (*.f32 maxCos (-.f32 ux (Rewrite<= unpow2_binary32 (pow.f32 ux 2)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (Rewrite<= distribute-lft-out--_binary32 (-.f32 (*.f32 maxCos ux) (*.f32 maxCos (pow.f32 ux 2)))): 28 points increase in error, 31 points decrease in error
   (Rewrite<= unsub-neg_binary32 (+.f32 (*.f32 maxCos ux) (neg.f32 (*.f32 maxCos (pow.f32 ux 2))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (+.f32 (*.f32 maxCos ux) (Rewrite<= mul-1-neg_binary32 (*.f32 -1 (*.f32 maxCos (pow.f32 ux 2))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (Rewrite<= +-commutative_binary32 (+.f32 (*.f32 -1 (*.f32 maxCos (pow.f32 ux 2))) (*.f32 maxCos ux))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error

5. Final simplification 0.3

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)}\right) \cdot xi + \left(\sqrt{1 - \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(maxCos \cdot \left(ux - ux \cdot ux\right)\right) \cdot zi \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.4
Cost	17312

\[\begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ \left(maxCos \cdot \left(ux - ux \cdot ux\right)\right) \cdot zi + \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right) \end{array} \]

Alternative 2
Error	0.4
Cost	17056

\[\left(yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + xi \cdot \left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)}\right)\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

Alternative 3
Error	3.1
Cost	14112

\[\begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t_0 \cdot zi + \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(yi \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \end{array} \]

Alternative 4
Error	3.1
Cost	14112

\[\begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t_0 \cdot zi + \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\right) \cdot xi + \pi \cdot \left(2 \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) \end{array} \]

Alternative 5
Error	3.1
Cost	14112

\[\begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t_0 \cdot zi + \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \end{array} \]

Alternative 6
Error	3.2
Cost	13856

\[\left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)}\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \]

Alternative 7
Error	3.2
Cost	13856

\[\left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)}\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \]

Alternative 8
Error	12.9
Cost	10688

\[\begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ \left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\right) \cdot xi + t_0 \cdot zi \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022294 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))