2-ancestry mixing, negative discriminant

Average Error: 1.0 → 0.0

Time: 10.3s

Precision: binary64

Cost: 286720

Math

\[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

↓

\[\begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\\ t_1 := \cos t_0 \cdot \cos \left(\pi \cdot 0\right)\\ t_2 := \sin t_0 \cdot \sin \left(\pi \cdot 0\right)\\ 2 \cdot \frac{{t_1}^{3} - {t_2}^{3}}{t_1 \cdot t_1 + t_2 \cdot \left(t_1 + t_2\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

↓

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (fma PI 0.6666666666666666 (* (acos (/ g (- h))) 0.3333333333333333)))
        (t_1 (* (cos t_0) (cos (* PI 0.0))))
        (t_2 (* (sin t_0) (sin (* PI 0.0)))))
   (*
    2.0
    (/ (- (pow t_1 3.0) (pow t_2 3.0)) (+ (* t_1 t_1) (* t_2 (+ t_1 t_2)))))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

↓

double code(double g, double h) {
	double t_0 = fma(((double) M_PI), 0.6666666666666666, (acos((g / -h)) * 0.3333333333333333));
	double t_1 = cos(t_0) * cos((((double) M_PI) * 0.0));
	double t_2 = sin(t_0) * sin((((double) M_PI) * 0.0));
	return 2.0 * ((pow(t_1, 3.0) - pow(t_2, 3.0)) / ((t_1 * t_1) + (t_2 * (t_1 + t_2))));
}

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

↓

function code(g, h)
	t_0 = fma(pi, 0.6666666666666666, Float64(acos(Float64(g / Float64(-h))) * 0.3333333333333333))
	t_1 = Float64(cos(t_0) * cos(Float64(pi * 0.0)))
	t_2 = Float64(sin(t_0) * sin(Float64(pi * 0.0)))
	return Float64(2.0 * Float64(Float64((t_1 ^ 3.0) - (t_2 ^ 3.0)) / Float64(Float64(t_1 * t_1) + Float64(t_2 * Float64(t_1 + t_2)))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[(Pi * 0.6666666666666666 + N[(N[ArcCos[N[(g / (-h)), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[Cos[t$95$0], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(Pi * 0.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[Sin[t$95$0], $MachinePrecision] * N[Sin[N[(Pi * 0.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(2.0 * N[(N[(N[Power[t$95$1, 3.0], $MachinePrecision] - N[Power[t$95$2, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(t$95$1 * t$95$1), $MachinePrecision] + N[(t$95$2 * N[(t$95$1 + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Initial program 1.0

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

2. Applied egg-rr 1.0

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333 - \pi \cdot -0.6666666666666666\right)} \]

3. Applied egg-rr 0.0

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot 0\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \sin \left(\pi \cdot 0\right)\right)}^{3}}{\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot 0\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot 0\right)\right) + \left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \sin \left(\pi \cdot 0\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot 0\right) + \sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \sin \left(\pi \cdot 0\right)\right)}} \]

4. Final simplification 0.0

   \[\leadsto 2 \cdot \frac{{\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot 0\right)\right)}^{3} - {\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \sin \left(\pi \cdot 0\right)\right)}^{3}}{\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot 0\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot 0\right)\right) + \left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \sin \left(\pi \cdot 0\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot 0\right) + \sin \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \sin \left(\pi \cdot 0\right)\right)} \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.0
Cost	65344

\[\begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\\ 2 \cdot \left({t_0}^{3} \cdot \frac{1}{{t_0}^{2}}\right) \end{array} \]

Alternative 2
Error	0.1
Cost	52864

\[\begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right)\\ 2 \cdot \left({\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, t_0 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3} \cdot \frac{1}{0.5 + 0.5 \cdot \cos \left(\pi \cdot 1.3333333333333333 + 0.6666666666666666 \cdot t_0\right)}\right) \end{array} \]

Alternative 3
Error	1.0
Cost	20032

\[2 \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 1.5 + \pi \cdot 3}{4.5}\right) \]

Alternative 4
Error	1.0
Cost	19904

\[2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{-h}\right) \cdot 0.3333333333333333 + \pi \cdot 0.6666666666666666\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022294 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))