math.cos on complex, imaginary part

Average Error: 43.4 → 0.7

Time: 13.5s

Precision: binary64

Cost: 26752

Math

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

↓

\[\sin re \cdot \left(\left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right) + \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)\right) \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (*
  (sin re)
  (+
   (+
    (* (pow im 7.0) -0.0001984126984126984)
    (* (pow im 5.0) -0.008333333333333333))
   (- (* (pow im 3.0) -0.16666666666666666) im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

↓

double code(double re, double im) {
	return sin(re) * (((pow(im, 7.0) * -0.0001984126984126984) + (pow(im, 5.0) * -0.008333333333333333)) + ((pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666) - im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

↓

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = sin(re) * ((((im ** 7.0d0) * (-0.0001984126984126984d0)) + ((im ** 5.0d0) * (-0.008333333333333333d0))) + (((im ** 3.0d0) * (-0.16666666666666666d0)) - im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

↓

public static double code(double re, double im) {
	return Math.sin(re) * (((Math.pow(im, 7.0) * -0.0001984126984126984) + (Math.pow(im, 5.0) * -0.008333333333333333)) + ((Math.pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666) - im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

↓

def code(re, im):
	return math.sin(re) * (((math.pow(im, 7.0) * -0.0001984126984126984) + (math.pow(im, 5.0) * -0.008333333333333333)) + ((math.pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666) - im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

↓

function code(re, im)
	return Float64(sin(re) * Float64(Float64(Float64((im ^ 7.0) * -0.0001984126984126984) + Float64((im ^ 5.0) * -0.008333333333333333)) + Float64(Float64((im ^ 3.0) * -0.16666666666666666) - im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

↓

function tmp = code(re, im)
	tmp = sin(re) * ((((im ^ 7.0) * -0.0001984126984126984) + ((im ^ 5.0) * -0.008333333333333333)) + (((im ^ 3.0) * -0.16666666666666666) - im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[re_, im_] := N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[Power[im, 7.0], $MachinePrecision] * -0.0001984126984126984), $MachinePrecision] + N[(N[Power[im, 5.0], $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision] - im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	43.4
Target	0.3
Herbie	0.7

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Initial program 43.4

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

2. Taylor expanded in im around 0 0.7

   \[\leadsto \color{blue}{-0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right) + \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)\right)} \]

3. Simplified 0.7

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(\left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right) - \left(im + {im}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]
   Proof
   (*.f64 (sin.f64 re) (-.f64 (+.f64 (*.f64 (pow.f64 im 7) -1/5040) (*.f64 (pow.f64 im 5) -1/120)) (+.f64 im (*.f64 (pow.f64 im 3) 1/6)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (*.f64 (sin.f64 re) (-.f64 (+.f64 (*.f64 (pow.f64 im 7) -1/5040) (Rewrite<= *-commutative_binary64 (*.f64 -1/120 (pow.f64 im 5)))) (+.f64 im (*.f64 (pow.f64 im 3) 1/6)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (*.f64 (sin.f64 re) (-.f64 (+.f64 (*.f64 (pow.f64 im 7) -1/5040) (*.f64 -1/120 (pow.f64 im 5))) (+.f64 im (*.f64 (pow.f64 im 3) (Rewrite<= metadata-eval (neg.f64 -1/6)))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (*.f64 (sin.f64 re) (-.f64 (+.f64 (*.f64 (pow.f64 im 7) -1/5040) (*.f64 -1/120 (pow.f64 im 5))) (+.f64 im (Rewrite<= distribute-rgt-neg-in_binary64 (neg.f64 (*.f64 (pow.f64 im 3) -1/6)))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (*.f64 (sin.f64 re) (-.f64 (+.f64 (*.f64 (pow.f64 im 7) -1/5040) (*.f64 -1/120 (pow.f64 im 5))) (+.f64 im (neg.f64 (Rewrite<= *-commutative_binary64 (*.f64 -1/6 (pow.f64 im 3))))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (*.f64 (sin.f64 re) (-.f64 (+.f64 (*.f64 (pow.f64 im 7) -1/5040) (*.f64 -1/120 (pow.f64 im 5))) (Rewrite<= sub-neg_binary64 (-.f64 im (*.f64 -1/6 (pow.f64 im 3)))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (Rewrite<= distribute-lft-out--_binary64 (-.f64 (*.f64 (sin.f64 re) (+.f64 (*.f64 (pow.f64 im 7) -1/5040) (*.f64 -1/120 (pow.f64 im 5)))) (*.f64 (sin.f64 re) (-.f64 im (*.f64 -1/6 (pow.f64 im 3)))))): 1 points increase in error, 1 points decrease in error
   (-.f64 (Rewrite<= distribute-rgt-out_binary64 (+.f64 (*.f64 (*.f64 (pow.f64 im 7) -1/5040) (sin.f64 re)) (*.f64 (*.f64 -1/120 (pow.f64 im 5)) (sin.f64 re)))) (*.f64 (sin.f64 re) (-.f64 im (*.f64 -1/6 (pow.f64 im 3))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (-.f64 (+.f64 (Rewrite<= associate-*r*_binary64 (*.f64 (pow.f64 im 7) (*.f64 -1/5040 (sin.f64 re)))) (*.f64 (*.f64 -1/120 (pow.f64 im 5)) (sin.f64 re))) (*.f64 (sin.f64 re) (-.f64 im (*.f64 -1/6 (pow.f64 im 3))))): 1 points increase in error, 0 points decrease in error
   (-.f64 (+.f64 (Rewrite<= *-commutative_binary64 (*.f64 (*.f64 -1/5040 (sin.f64 re)) (pow.f64 im 7))) (*.f64 (*.f64 -1/120 (pow.f64 im 5)) (sin.f64 re))) (*.f64 (sin.f64 re) (-.f64 im (*.f64 -1/6 (pow.f64 im 3))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (-.f64 (+.f64 (Rewrite<= associate-*r*_binary64 (*.f64 -1/5040 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 7)))) (*.f64 (*.f64 -1/120 (pow.f64 im 5)) (sin.f64 re))) (*.f64 (sin.f64 re) (-.f64 im (*.f64 -1/6 (pow.f64 im 3))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (-.f64 (+.f64 (*.f64 -1/5040 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 7))) (Rewrite<= associate-*r*_binary64 (*.f64 -1/120 (*.f64 (pow.f64 im 5) (sin.f64 re))))) (*.f64 (sin.f64 re) (-.f64 im (*.f64 -1/6 (pow.f64 im 3))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (-.f64 (+.f64 (*.f64 -1/5040 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 7))) (*.f64 -1/120 (Rewrite<= *-commutative_binary64 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 5))))) (*.f64 (sin.f64 re) (-.f64 im (*.f64 -1/6 (pow.f64 im 3))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (-.f64 (+.f64 (*.f64 -1/5040 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 7))) (*.f64 -1/120 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 5)))) (Rewrite<= distribute-rgt-out--_binary64 (-.f64 (*.f64 im (sin.f64 re)) (*.f64 (*.f64 -1/6 (pow.f64 im 3)) (sin.f64 re))))): 2 points increase in error, 1 points decrease in error
   (-.f64 (+.f64 (*.f64 -1/5040 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 7))) (*.f64 -1/120 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 5)))) (-.f64 (Rewrite<= *-commutative_binary64 (*.f64 (sin.f64 re) im)) (*.f64 (*.f64 -1/6 (pow.f64 im 3)) (sin.f64 re)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (-.f64 (+.f64 (*.f64 -1/5040 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 7))) (*.f64 -1/120 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 5)))) (-.f64 (*.f64 (sin.f64 re) im) (Rewrite<= associate-*r*_binary64 (*.f64 -1/6 (*.f64 (pow.f64 im 3) (sin.f64 re)))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (-.f64 (+.f64 (*.f64 -1/5040 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 7))) (*.f64 -1/120 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 5)))) (-.f64 (*.f64 (sin.f64 re) im) (*.f64 -1/6 (Rewrite<= *-commutative_binary64 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 3)))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (Rewrite<= associate-+r-_binary64 (+.f64 (*.f64 -1/5040 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 7))) (-.f64 (*.f64 -1/120 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 5))) (-.f64 (*.f64 (sin.f64 re) im) (*.f64 -1/6 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 3))))))): 1 points increase in error, 1 points decrease in error
   (+.f64 (*.f64 -1/5040 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 7))) (Rewrite<= associate-+l-_binary64 (+.f64 (-.f64 (*.f64 -1/120 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 5))) (*.f64 (sin.f64 re) im)) (*.f64 -1/6 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 3)))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (+.f64 (*.f64 -1/5040 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 7))) (+.f64 (Rewrite<= unsub-neg_binary64 (+.f64 (*.f64 -1/120 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 5))) (neg.f64 (*.f64 (sin.f64 re) im)))) (*.f64 -1/6 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 3))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (+.f64 (*.f64 -1/5040 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 7))) (+.f64 (+.f64 (*.f64 -1/120 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 5))) (Rewrite<= mul-1-neg_binary64 (*.f64 -1 (*.f64 (sin.f64 re) im)))) (*.f64 -1/6 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 3))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (+.f64 (*.f64 -1/5040 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 7))) (Rewrite<= +-commutative_binary64 (+.f64 (*.f64 -1/6 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 3))) (+.f64 (*.f64 -1/120 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 5))) (*.f64 -1 (*.f64 (sin.f64 re) im)))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error

4. Final simplification 0.7

   \[\leadsto \sin re \cdot \left(\left({im}^{7} \cdot -0.0001984126984126984 + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right) + \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.8
Cost	20288

\[\left(\sin re \cdot 0.5\right) \cdot \left(im \cdot -2 + \left({im}^{5} \cdot -0.016666666666666666 + {im}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

Alternative 2
Error	0.9
Cost	19840

\[-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) - \sin re \cdot im \]

Alternative 3
Error	0.9
Cost	13312

\[\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) \]

Alternative 4
Error	1.3
Cost	6656

\[\sin re \cdot \left(-im\right) \]

Alternative 5
Error	31.4
Cost	256

\[re \cdot \left(-im\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022291 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))