math.cos on complex, imaginary part

Average Error: 42.9 → 0.8

Time: 12.6s

Precision: binary64

Cost: 26368

Math

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

↓

\[\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left({im}^{5}, -0.008333333333333333, -im\right)\right) \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (*
  (sin re)
  (+
   (* (pow im 3.0) -0.16666666666666666)
   (fma (pow im 5.0) -0.008333333333333333 (- im)))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

↓

double code(double re, double im) {
	return sin(re) * ((pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666) + fma(pow(im, 5.0), -0.008333333333333333, -im));
}

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

↓

function code(re, im)
	return Float64(sin(re) * Float64(Float64((im ^ 3.0) * -0.16666666666666666) + fma((im ^ 5.0), -0.008333333333333333, Float64(-im))))
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[re_, im_] := N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + N[(N[Power[im, 5.0], $MachinePrecision] * -0.008333333333333333 + (-im)), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	42.9
Target	0.3
Herbie	0.8

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Initial program 42.9

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

2. Taylor expanded in im around 0 0.8

   \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)} \]

3. Simplified 0.8

   \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left({im}^{5}, -0.008333333333333333, -im\right)\right)} \]
   Proof
   (*.f64 (sin.f64 re) (+.f64 (*.f64 (pow.f64 im 3) -1/6) (fma.f64 (pow.f64 im 5) -1/120 (neg.f64 im)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (*.f64 (sin.f64 re) (+.f64 (Rewrite<= *-commutative_binary64 (*.f64 -1/6 (pow.f64 im 3))) (fma.f64 (pow.f64 im 5) -1/120 (neg.f64 im)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (*.f64 (sin.f64 re) (+.f64 (*.f64 -1/6 (pow.f64 im 3)) (Rewrite=> fma-udef_binary64 (+.f64 (*.f64 (pow.f64 im 5) -1/120) (neg.f64 im))))): 0 points increase in error, 1 points decrease in error
   (*.f64 (sin.f64 re) (+.f64 (*.f64 -1/6 (pow.f64 im 3)) (+.f64 (Rewrite<= *-commutative_binary64 (*.f64 -1/120 (pow.f64 im 5))) (neg.f64 im)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (Rewrite<= distribute-rgt-out_binary64 (+.f64 (*.f64 (*.f64 -1/6 (pow.f64 im 3)) (sin.f64 re)) (*.f64 (+.f64 (*.f64 -1/120 (pow.f64 im 5)) (neg.f64 im)) (sin.f64 re)))): 1 points increase in error, 2 points decrease in error
   (+.f64 (Rewrite<= associate-*r*_binary64 (*.f64 -1/6 (*.f64 (pow.f64 im 3) (sin.f64 re)))) (*.f64 (+.f64 (*.f64 -1/120 (pow.f64 im 5)) (neg.f64 im)) (sin.f64 re))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (+.f64 (*.f64 -1/6 (Rewrite<= *-commutative_binary64 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 3)))) (*.f64 (+.f64 (*.f64 -1/120 (pow.f64 im 5)) (neg.f64 im)) (sin.f64 re))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (+.f64 (*.f64 -1/6 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 3))) (Rewrite<= *-commutative_binary64 (*.f64 (sin.f64 re) (+.f64 (*.f64 -1/120 (pow.f64 im 5)) (neg.f64 im))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (+.f64 (*.f64 -1/6 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 3))) (Rewrite<= distribute-rgt-out_binary64 (+.f64 (*.f64 (*.f64 -1/120 (pow.f64 im 5)) (sin.f64 re)) (*.f64 (neg.f64 im) (sin.f64 re))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (+.f64 (*.f64 -1/6 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 3))) (+.f64 (Rewrite<= associate-*r*_binary64 (*.f64 -1/120 (*.f64 (pow.f64 im 5) (sin.f64 re)))) (*.f64 (neg.f64 im) (sin.f64 re)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (+.f64 (*.f64 -1/6 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 3))) (+.f64 (*.f64 -1/120 (Rewrite<= *-commutative_binary64 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 5)))) (*.f64 (neg.f64 im) (sin.f64 re)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (+.f64 (*.f64 -1/6 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 3))) (+.f64 (*.f64 -1/120 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 5))) (Rewrite<= distribute-lft-neg-in_binary64 (neg.f64 (*.f64 im (sin.f64 re)))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (+.f64 (*.f64 -1/6 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 3))) (+.f64 (*.f64 -1/120 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 5))) (neg.f64 (Rewrite<= *-commutative_binary64 (*.f64 (sin.f64 re) im))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (+.f64 (*.f64 -1/6 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 3))) (+.f64 (*.f64 -1/120 (*.f64 (sin.f64 re) (pow.f64 im 5))) (Rewrite<= mul-1-neg_binary64 (*.f64 -1 (*.f64 (sin.f64 re) im))))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error

4. Final simplification 0.8

   \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \mathsf{fma}\left({im}^{5}, -0.008333333333333333, -im\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.8
Cost	20288

\[\left(\sin re \cdot 0.5\right) \cdot \left(im \cdot -2 + \left({im}^{5} \cdot -0.016666666666666666 + {im}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \]

Alternative 2
Error	0.9
Cost	19840

\[\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right) - \sin re \cdot im \]

Alternative 3
Error	0.9
Cost	19840

\[-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) - \sin re \cdot im \]

Alternative 4
Error	0.9
Cost	13568

\[\left(\sin re \cdot 0.5\right) \cdot \left(im \cdot -2 + {im}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right) \]

Alternative 5
Error	0.9
Cost	13312

\[\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) \]

Alternative 6
Error	1.3
Cost	6656

\[\sin re \cdot \left(-im\right) \]

Alternative 7
Error	30.8
Cost	256

\[im \cdot \left(-re\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022289 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))