Octave 3.8, oct_fill_randg

Average Error: 0.1 → 0.1

Time: 10.0s

Precision: binary64

Cost: 13376

Math

\[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

↓

\[\mathsf{fma}\left(\sqrt{a + -0.3333333333333333}, 0.3333333333333333 \cdot rand, a + -0.3333333333333333\right) \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (*
  (- a (/ 1.0 3.0))
  (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))

↓

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (fma
  (sqrt (+ a -0.3333333333333333))
  (* 0.3333333333333333 rand)
  (+ a -0.3333333333333333)))

C

double code(double a, double rand) {
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand));
}

↓

double code(double a, double rand) {
	return fma(sqrt((a + -0.3333333333333333)), (0.3333333333333333 * rand), (a + -0.3333333333333333));
}

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a - Float64(1.0 / 3.0)) * Float64(1.0 + Float64(Float64(1.0 / sqrt(Float64(9.0 * Float64(a - Float64(1.0 / 3.0))))) * rand)))
end

↓

function code(a, rand)
	return fma(sqrt(Float64(a + -0.3333333333333333)), Float64(0.3333333333333333 * rand), Float64(a + -0.3333333333333333))
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(1.0 / N[Sqrt[N[(9.0 * N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * rand), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[a_, rand_] := N[(N[Sqrt[N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(0.3333333333333333 * rand), $MachinePrecision] + N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 0.1

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

2. Taylor expanded in rand around 0 0.2

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right) + a\right) - 0.3333333333333333} \]

3. Simplified 0.1

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{a + -0.3333333333333333}, 0.3333333333333333 \cdot rand, a + -0.3333333333333333\right)} \]
   Proof
   (fma.f64 (sqrt.f64 (+.f64 a -1/3)) (*.f64 1/3 rand) (+.f64 a -1/3)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (fma.f64 (sqrt.f64 (+.f64 a (Rewrite<= metadata-eval (neg.f64 1/3)))) (*.f64 1/3 rand) (+.f64 a -1/3)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (fma.f64 (sqrt.f64 (Rewrite<= sub-neg_binary64 (-.f64 a 1/3))) (*.f64 1/3 rand) (+.f64 a -1/3)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (fma.f64 (sqrt.f64 (-.f64 a 1/3)) (*.f64 1/3 rand) (+.f64 a (Rewrite<= metadata-eval (neg.f64 1/3)))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (fma.f64 (sqrt.f64 (-.f64 a 1/3)) (*.f64 1/3 rand) (Rewrite<= sub-neg_binary64 (-.f64 a 1/3))): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (Rewrite<= fma-def_binary64 (+.f64 (*.f64 (sqrt.f64 (-.f64 a 1/3)) (*.f64 1/3 rand)) (-.f64 a 1/3))): 2 points increase in error, 1 points decrease in error
   (+.f64 (*.f64 (sqrt.f64 (-.f64 a 1/3)) (Rewrite=> *-commutative_binary64 (*.f64 rand 1/3))) (-.f64 a 1/3)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (+.f64 (Rewrite<= associate-*l*_binary64 (*.f64 (*.f64 (sqrt.f64 (-.f64 a 1/3)) rand) 1/3)) (-.f64 a 1/3)): 9 points increase in error, 4 points decrease in error
   (+.f64 (Rewrite<= *-commutative_binary64 (*.f64 1/3 (*.f64 (sqrt.f64 (-.f64 a 1/3)) rand))) (-.f64 a 1/3)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error
   (Rewrite<= associate--l+_binary64 (-.f64 (+.f64 (*.f64 1/3 (*.f64 (sqrt.f64 (-.f64 a 1/3)) rand)) a) 1/3)): 0 points increase in error, 0 points decrease in error

4. Final simplification 0.1

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{a + -0.3333333333333333}, 0.3333333333333333 \cdot rand, a + -0.3333333333333333\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	0.1
Cost	7232

\[\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\frac{rand}{3}}{\sqrt{a + -0.3333333333333333}}\right) \]

Alternative 2
Error	5.5
Cost	7176

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -1.6306172635423257 \cdot 10^{+59}:\\ \;\;\;\;\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)\\ \mathbf{elif}\;rand \leq 5.214643472683663 \cdot 10^{+82}:\\ \;\;\;\;a + -0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot {\left(a + -0.3333333333333333\right)}^{0.5}\\ \end{array} \]

Alternative 3
Error	5.5
Cost	7112

\[\begin{array}{l} t_0 := 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot rand\right)\\ \mathbf{if}\;rand \leq -1.6306172635423257 \cdot 10^{+59}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;rand \leq 5.214643472683663 \cdot 10^{+82}:\\ \;\;\;\;a + -0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]

Alternative 4
Error	5.5
Cost	7112

\[\begin{array}{l} t_0 := \sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)\\ \mathbf{if}\;rand \leq -1.6306172635423257 \cdot 10^{+59}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;rand \leq 5.214643472683663 \cdot 10^{+82}:\\ \;\;\;\;a + -0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]

Alternative 5
Error	0.8
Cost	7104

\[\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{a \cdot 9}}\right) \]

Alternative 6
Error	0.2
Cost	7104

\[-0.3333333333333333 + \left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot rand\right)\right) \]

Alternative 7
Error	6.0
Cost	6984

\[\begin{array}{l} t_0 := 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a}\right)\\ \mathbf{if}\;rand \leq -1.6306172635423257 \cdot 10^{+59}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;rand \leq 5.214643472683663 \cdot 10^{+82}:\\ \;\;\;\;a + -0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]

Alternative 8
Error	18.2
Cost	192

\[a + -0.3333333333333333 \]

Alternative 9
Error	19.0
Cost	64

\[a \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022283 
(FPCore (a rand)
  :name "Octave 3.8, oct_fill_randg"
  :precision binary64
  (* (- a (/ 1.0 3.0)) (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))