2-ancestry mixing, negative discriminant

Average Error: 1.0 → 1.3

Time: 5.3s

Precision: binary64

Cost: 65408

Math

\[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

↓

\[\begin{array}{l} t_0 := \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\\ 2 \cdot \left(\log \left({\left(\sqrt[3]{e^{t_0}}\right)}^{2}\right) + 0.3333333333333333 \cdot t_0\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

↓

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (cos
          (+
           (* 0.6666666666666666 PI)
           (* 0.3333333333333333 (acos (/ g h)))))))
   (* 2.0 (+ (log (pow (cbrt (exp t_0)) 2.0)) (* 0.3333333333333333 t_0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

↓

double code(double g, double h) {
	double t_0 = cos(((0.6666666666666666 * ((double) M_PI)) + (0.3333333333333333 * acos((g / h)))));
	return 2.0 * (log(pow(cbrt(exp(t_0)), 2.0)) + (0.3333333333333333 * t_0));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

↓

public static double code(double g, double h) {
	double t_0 = Math.cos(((0.6666666666666666 * Math.PI) + (0.3333333333333333 * Math.acos((g / h)))));
	return 2.0 * (Math.log(Math.pow(Math.cbrt(Math.exp(t_0)), 2.0)) + (0.3333333333333333 * t_0));
}

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

↓

function code(g, h)
	t_0 = cos(Float64(Float64(0.6666666666666666 * pi) + Float64(0.3333333333333333 * acos(Float64(g / h)))))
	return Float64(2.0 * Float64(log((cbrt(exp(t_0)) ^ 2.0)) + Float64(0.3333333333333333 * t_0)))
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[ArcCos[N[(g / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(2.0 * N[(N[Log[N[Power[N[Power[N[Exp[t$95$0], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 1.0

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

2. Simplified 1.0

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

3. Applied egg-rr 1.3

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\log \left({\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)}^{2}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in g around 0 2.2

   \[\leadsto 2 \cdot \left(\log \left({\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)}^{2}\right) + \color{blue}{\log \left({\left(e^{\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}\right)}^{0.3333333333333333}\right)}\right) \]

5. Simplified 1.3

   \[\leadsto 2 \cdot \left(\log \left({\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)}^{2}\right) + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right) \]

6. Taylor expanded in g around 0 1.3

   \[\leadsto 2 \cdot \left(\log \left({\left(\sqrt[3]{e^{\color{blue}{\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}}}\right)}^{2}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\right) \]

7. Taylor expanded in g around 0 1.3

   \[\leadsto 2 \cdot \left(\log \left({\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}}\right)}^{2}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}\right) \]

8. Final simplification 1.3

   \[\leadsto 2 \cdot \left(\log \left({\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)}}\right)}^{2}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	1.0
Cost	26176

\[2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

Alternative 2
Error	1.0
Cost	19904

\[2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

Alternative 3
Error	2.2
Cost	19840

\[2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022241 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))