Data.Array.Repa.Algorithms.Pixel:doubleRmsOfRGB8 from repa-algorithms-3.4.0.1

Average Error: 37.6 → 0.8

Time: 5.4s

Precision: binary64

Cost: 13056

\[ \begin{array}{c}[x, y, z] = \mathsf{sort}([x, y, z])\\ \end{array} \]

Math

\[\sqrt{\frac{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z}{3}} \]

↓

\[\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \mathsf{hypot}\left(z, x\right) \]

FPCore

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (sqrt (/ (+ (+ (* x x) (* y y)) (* z z)) 3.0)))

↓

(FPCore (x y z) :precision binary64 (* (sqrt 0.3333333333333333) (hypot z x)))

C

double code(double x, double y, double z) {
	return sqrt(((((x * x) + (y * y)) + (z * z)) / 3.0));
}

↓

double code(double x, double y, double z) {
	return sqrt(0.3333333333333333) * hypot(z, x);
}

Java

public static double code(double x, double y, double z) {
	return Math.sqrt(((((x * x) + (y * y)) + (z * z)) / 3.0));
}

↓

public static double code(double x, double y, double z) {
	return Math.sqrt(0.3333333333333333) * Math.hypot(z, x);
}

Python

def code(x, y, z):
	return math.sqrt(((((x * x) + (y * y)) + (z * z)) / 3.0))

↓

def code(x, y, z):
	return math.sqrt(0.3333333333333333) * math.hypot(z, x)

Julia

function code(x, y, z)
	return sqrt(Float64(Float64(Float64(Float64(x * x) + Float64(y * y)) + Float64(z * z)) / 3.0))
end

↓

function code(x, y, z)
	return Float64(sqrt(0.3333333333333333) * hypot(z, x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z)
	tmp = sqrt(((((x * x) + (y * y)) + (z * z)) / 3.0));
end

↓

function tmp = code(x, y, z)
	tmp = sqrt(0.3333333333333333) * hypot(z, x);
end

Wolfram

code[x_, y_, z_] := N[Sqrt[N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] + N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(z * z), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

↓

code[x_, y_, z_] := N[(N[Sqrt[0.3333333333333333], $MachinePrecision] * N[Sqrt[z ^ 2 + x ^ 2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	37.6
Target	19.6
Herbie	0.8

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z < -6.396479394109776 \cdot 10^{+136}:\\ \;\;\;\;\frac{-z}{\sqrt{3}}\\ \mathbf{elif}\;z < 7.320293694404182 \cdot 10^{+117}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(z \cdot z + x \cdot x\right) + y \cdot y}}{\sqrt{3}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.3333333333333333} \cdot z\\ \end{array} \]

Derivation

1. Initial program 37.6

   \[\sqrt{\frac{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z}{3}} \]

2. Taylor expanded in y around 0 37.8

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{z}^{2} + {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}} \]

3. Simplified 0.8

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \mathsf{hypot}\left(z, x\right)} \]

4. Final simplification 0.8

   \[\leadsto \sqrt{0.3333333333333333} \cdot \mathsf{hypot}\left(z, x\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error	12.7
Cost	13836

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \cdot x \leq 5 \cdot 10^{+63}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \mathsf{hypot}\left(z, y\right)\\ \mathbf{elif}\;x \cdot x \leq 10^{+220}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z}{3}}\\ \mathbf{elif}\;x \cdot x \leq 10^{+239}:\\ \;\;\;\;\frac{z}{\sqrt{3}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \mathsf{hypot}\left(y, x\right)\\ \end{array} \]

Alternative 2
Error	13.0
Cost	13316

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \cdot x \leq 5 \cdot 10^{+63}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \mathsf{hypot}\left(z, y\right)\\ \mathbf{elif}\;x \cdot x \leq 10^{+220}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z}{3}}\\ \mathbf{elif}\;x \cdot x \leq 10^{+239}:\\ \;\;\;\;\frac{z}{\sqrt{3}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(z \cdot \frac{z}{x}\right) - x\right)\\ \end{array} \]

Alternative 3
Error	13.3
Cost	7884

\[\begin{array}{l} t_0 := \frac{z}{\sqrt{3}}\\ \mathbf{if}\;x \cdot x \leq 5 \cdot 10^{+66}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;x \cdot x \leq 10^{+220}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z}{3}}\\ \mathbf{elif}\;x \cdot x \leq 10^{+239}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(z \cdot \frac{z}{x}\right) - x\right)\\ \end{array} \]

Alternative 4
Error	14.3
Cost	7236

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.297110601513885 \cdot 10^{+101}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(z \cdot \frac{z}{x}\right) - x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{z}{\sqrt{3}}\\ \end{array} \]

Alternative 5
Error	14.2
Cost	6788

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.297110601513885 \cdot 10^{+101}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(-x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{z}{\sqrt{3}}\\ \end{array} \]

Alternative 6
Error	31.4
Cost	6592

\[\frac{z}{\sqrt{3}} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022228 
(FPCore (x y z)
  :name "Data.Array.Repa.Algorithms.Pixel:doubleRmsOfRGB8 from repa-algorithms-3.4.0.1"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< z -6.396479394109776e+136) (/ (- z) (sqrt 3.0)) (if (< z 7.320293694404182e+117) (/ (sqrt (+ (+ (* z z) (* x x)) (* y y))) (sqrt 3.0)) (* (sqrt 0.3333333333333333) z)))

  (sqrt (/ (+ (+ (* x x) (* y y)) (* z z)) 3.0)))