Average Error: 0.5 → 0.5
Time: 17.3s
Precision: binary64
Cost: 58560
\[\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right) \]
↓
\[{\left({\left({\left({\left({\left({\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}\right)}^{1.5}\right)}^{0.6666666666666666}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]
(FPCore (v)
 :precision binary64
 (acos (/ (- 1.0 (* 5.0 (* v v))) (- (* v v) 1.0))))
↓
(FPCore (v)
 :precision binary64
 (pow
  (pow
   (pow
    (pow
     (pow
      (pow (acos (/ (fma v (* v -5.0) 1.0) (fma v v -1.0))) 3.0)
      0.3333333333333333)
     1.5)
    0.6666666666666666)
   3.0)
  0.3333333333333333))
double code(double v) {
	return acos(((1.0 - (5.0 * (v * v))) / ((v * v) - 1.0)));
}
↓
double code(double v) {
	return pow(pow(pow(pow(pow(pow(acos((fma(v, (v * -5.0), 1.0) / fma(v, v, -1.0))), 3.0), 0.3333333333333333), 1.5), 0.6666666666666666), 3.0), 0.3333333333333333);
}

function code(v)
	return acos(Float64(Float64(1.0 - Float64(5.0 * Float64(v * v))) / Float64(Float64(v * v) - 1.0)))
end
↓
function code(v)
	return (((((acos(Float64(fma(v, Float64(v * -5.0), 1.0) / fma(v, v, -1.0))) ^ 3.0) ^ 0.3333333333333333) ^ 1.5) ^ 0.6666666666666666) ^ 3.0) ^ 0.3333333333333333
end

code[v_] := N[ArcCos[N[(N[(1.0 - N[(5.0 * N[(v * v), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(v * v), $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]
↓
code[v_] := N[Power[N[Power[N[Power[N[Power[N[Power[N[Power[N[ArcCos[N[(N[(v * N[(v * -5.0), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] / N[(v * v + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision], 0.3333333333333333], $MachinePrecision], 1.5], $MachinePrecision], 0.6666666666666666], $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision], 0.3333333333333333], $MachinePrecision]

\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right)
↓
{\left({\left({\left({\left({\left({\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}\right)}^{1.5}\right)}^{0.6666666666666666}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}

Error

Derivation

  1. Initial program 0.5

    \[\cos^{-1} \left(\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right) \]

  2. Applied egg-rr0.5

    \[\leadsto \color{blue}{{\left({\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v \cdot v, -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

  3. Applied egg-rr0.5

    \[\leadsto {\left({\color{blue}{\left({\left({\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.6666666666666666}\right)}}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

  4. Applied egg-rr0.5

    \[\leadsto {\left({\left({\left({\color{blue}{\left({\left({\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}\right)}}^{1.5}\right)}^{0.6666666666666666}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

  5. Final simplification0.5

    \[\leadsto {\left({\left({\left({\left({\left({\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}\right)}^{1.5}\right)}^{0.6666666666666666}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]

Alternatives

Alternative 1
Error0.5
Cost45632
\[{\left({\left({\left({\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)}^{1.5}\right)}^{0.6666666666666666}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]
Alternative 2
Error0.5
Cost39104
\[{\left(\sqrt[3]{{\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v, v \cdot -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)}^{9}}\right)}^{0.3333333333333333} \]
Alternative 3
Error0.5
Cost32704
\[{\left({\cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v \cdot v, -5, 1\right)}{\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} \]
Alternative 4
Error0.5
Cost26304
\[\pi - \cos^{-1} \left(\frac{\mathsf{fma}\left(v \cdot v, -5, 1\right)}{-\mathsf{fma}\left(v, v, -1\right)}\right) \]
Alternative 5
Error0.5
Cost7232
\[\cos^{-1} \left(\frac{1 + -5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{v \cdot v - 1}\right) \]
Alternative 6
Error1.3
Cost6464
\[\cos^{-1} -1 \]

Error

Reproduce

herbie shell --seed 2022225 
(FPCore (v)
  :name "Falkner and Boettcher, Appendix B, 1"
  :precision binary64
  (acos (/ (- 1.0 (* 5.0 (* v v))) (- (* v v) 1.0))))