Average Error: 0.1 → 0.2
Time: 3.5s
Precision: binary64
\[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
↓
\[a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, rand \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}, -0.3333333333333333\right) \]
(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (*
  (- a (/ 1.0 3.0))
  (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))
↓
(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (+
  a
  (fma
   0.3333333333333333
   (* rand (sqrt (+ a -0.3333333333333333)))
   -0.3333333333333333)))
double code(double a, double rand) {
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand));
}
↓
double code(double a, double rand) {
	return a + fma(0.3333333333333333, (rand * sqrt((a + -0.3333333333333333))), -0.3333333333333333);
}

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a - Float64(1.0 / 3.0)) * Float64(1.0 + Float64(Float64(1.0 / sqrt(Float64(9.0 * Float64(a - Float64(1.0 / 3.0))))) * rand)))
end
↓
function code(a, rand)
	return Float64(a + fma(0.3333333333333333, Float64(rand * sqrt(Float64(a + -0.3333333333333333))), -0.3333333333333333))
end

code[a_, rand_] := N[(N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(1.0 / N[Sqrt[N[(9.0 * N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * rand), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]
↓
code[a_, rand_] := N[(a + N[(0.3333333333333333 * N[(rand * N[Sqrt[N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)
↓
a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, rand \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}, -0.3333333333333333\right)

Error

Derivation

  1. Initial program 0.1

    \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

  2. Taylor expanded in rand around 0 0.2

    \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right) + a\right) - 0.3333333333333333} \]

  3. Simplified0.1

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a}, 0.3333333333333333 \cdot rand, -0.3333333333333333 + a\right)} \]

  4. Taylor expanded in rand around 0 0.2

    \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right) + a\right) - 0.3333333333333333} \]

  5. Simplified0.2

    \[\leadsto \color{blue}{a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}, -0.3333333333333333\right)} \]

  6. Final simplification0.2

    \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, rand \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}, -0.3333333333333333\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022190 
(FPCore (a rand)
  :name "Octave 3.8, oct_fill_randg"
  :precision binary64
  (* (- a (/ 1.0 3.0)) (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))