Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm from diagrams-solve-0.1, K

Average Error: 20.7 → 16.5

Time: 11.1s

Precision: binary64

\[ \begin{array}{c}[z, t] = \mathsf{sort}([z, t])\\ \end{array} \]

Math

\[\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right) - \frac{a}{b \cdot 3} \]

↓

\[\begin{array}{l} t_1 := z \cdot \left(t \cdot -0.3333333333333333\right)\\ \mathbf{if}\;z \cdot t \leq -5 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(2, \sqrt{x}, \frac{a}{b \cdot -3}\right)\\ \mathbf{elif}\;z \cdot t \leq 2 \cdot 10^{+278}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(2, \sqrt{x} \cdot \left(\cos t_1 \cdot \cos y - \sin t_1 \cdot \sin y\right), a \cdot \frac{-0.3333333333333333}{b}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\sqrt{x}, 2, -0.3333333333333333 \cdot \frac{a}{b}\right)\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t a b)
 :precision binary64
 (- (* (* 2.0 (sqrt x)) (cos (- y (/ (* z t) 3.0)))) (/ a (* b 3.0))))

↓

(FPCore (x y z t a b)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (* z (* t -0.3333333333333333))))
   (if (<= (* z t) -5e+44)
     (fma 2.0 (sqrt x) (/ a (* b -3.0)))
     (if (<= (* z t) 2e+278)
       (fma
        2.0
        (* (sqrt x) (- (* (cos t_1) (cos y)) (* (sin t_1) (sin y))))
        (* a (/ -0.3333333333333333 b)))
       (fma (sqrt x) 2.0 (* -0.3333333333333333 (/ a b)))))))

C

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b) {
	return ((2.0 * sqrt(x)) * cos((y - ((z * t) / 3.0)))) - (a / (b * 3.0));
}

↓

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b) {
	double t_1 = z * (t * -0.3333333333333333);
	double tmp;
	if ((z * t) <= -5e+44) {
		tmp = fma(2.0, sqrt(x), (a / (b * -3.0)));
	} else if ((z * t) <= 2e+278) {
		tmp = fma(2.0, (sqrt(x) * ((cos(t_1) * cos(y)) - (sin(t_1) * sin(y)))), (a * (-0.3333333333333333 / b)));
	} else {
		tmp = fma(sqrt(x), 2.0, (-0.3333333333333333 * (a / b)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y, z, t, a, b)
	return Float64(Float64(Float64(2.0 * sqrt(x)) * cos(Float64(y - Float64(Float64(z * t) / 3.0)))) - Float64(a / Float64(b * 3.0)))
end

↓

function code(x, y, z, t, a, b)
	t_1 = Float64(z * Float64(t * -0.3333333333333333))
	tmp = 0.0
	if (Float64(z * t) <= -5e+44)
		tmp = fma(2.0, sqrt(x), Float64(a / Float64(b * -3.0)));
	elseif (Float64(z * t) <= 2e+278)
		tmp = fma(2.0, Float64(sqrt(x) * Float64(Float64(cos(t_1) * cos(y)) - Float64(sin(t_1) * sin(y)))), Float64(a * Float64(-0.3333333333333333 / b)));
	else
		tmp = fma(sqrt(x), 2.0, Float64(-0.3333333333333333 * Float64(a / b)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_, a_, b_] := N[(N[(N[(2.0 * N[Sqrt[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(y - N[(N[(z * t), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(a / N[(b * 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_, y_, z_, t_, a_, b_] := Block[{t$95$1 = N[(z * N[(t * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(z * t), $MachinePrecision], -5e+44], N[(2.0 * N[Sqrt[x], $MachinePrecision] + N[(a / N[(b * -3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[N[(z * t), $MachinePrecision], 2e+278], N[(2.0 * N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Cos[t$95$1], $MachinePrecision] * N[Cos[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[t$95$1], $MachinePrecision] * N[Sin[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(a * N[(-0.3333333333333333 / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sqrt[x], $MachinePrecision] * 2.0 + N[(-0.3333333333333333 * N[(a / b), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Target

Original	20.7
Target	18.8
Herbie	16.5

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z < -1.3793337487235141 \cdot 10^{+129}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(\frac{1}{y} - \frac{\frac{0.3333333333333333}{z}}{t}\right) - \frac{\frac{a}{3}}{b}\\ \mathbf{elif}\;z < 3.516290613555987 \cdot 10^{+106}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x} \cdot 2\right) \cdot \cos \left(y - \frac{t}{3} \cdot z\right) - \frac{\frac{a}{3}}{b}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(y - \frac{\frac{0.3333333333333333}{z}}{t}\right) \cdot \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) - \frac{\frac{a}{b}}{3}\\ \end{array} \]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (*.f64 z t) < -4.9999999999999996e44

   1. Initial program 41.7

      \[\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right) - \frac{a}{b \cdot 3} \]

   2. Simplified 41.8

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(2, \sqrt{x} \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(z, t \cdot -0.3333333333333333, y\right)\right), a \cdot \frac{-0.3333333333333333}{b}\right)} \]

   3. Taylor expanded in z around 0 33.6

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(2, \sqrt{x} \cdot \color{blue}{\cos y}, a \cdot \frac{-0.3333333333333333}{b}\right) \]

   4. Applied egg-rr 33.6

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(2, \sqrt{x} \cdot \cos y, \color{blue}{\frac{a}{b \cdot -3}}\right) \]

   5. Taylor expanded in y around 0 33.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(2, \color{blue}{\sqrt{x}}, \frac{a}{b \cdot -3}\right) \]

   if -4.9999999999999996e44 < (*.f64 z t) < 1.99999999999999993e278

   1. Initial program 10.2

      \[\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right) - \frac{a}{b \cdot 3} \]

   2. Simplified 10.2

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(2, \sqrt{x} \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(z, t \cdot -0.3333333333333333, y\right)\right), a \cdot \frac{-0.3333333333333333}{b}\right)} \]

   3. Applied egg-rr 9.7

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(2, \sqrt{x} \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(z \cdot \left(t \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \cos y - \sin \left(z \cdot \left(t \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \sin y\right)}, a \cdot \frac{-0.3333333333333333}{b}\right) \]

   if 1.99999999999999993e278 < (*.f64 z t)

   1. Initial program 58.3

      \[\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right) - \frac{a}{b \cdot 3} \]

   2. Simplified 58.2

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(2, \sqrt{x} \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(z, t \cdot -0.3333333333333333, y\right)\right), a \cdot \frac{-0.3333333333333333}{b}\right)} \]

   3. Taylor expanded in z around 0 31.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(2, \sqrt{x} \cdot \color{blue}{\cos y}, a \cdot \frac{-0.3333333333333333}{b}\right) \]

   4. Taylor expanded in y around 0 31.6

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \sqrt{x} + -0.3333333333333333 \cdot \frac{a}{b}} \]

   5. Simplified 31.6

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{x}, 2, -0.3333333333333333 \cdot \frac{a}{b}\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 16.5

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \cdot t \leq -5 \cdot 10^{+44}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(2, \sqrt{x}, \frac{a}{b \cdot -3}\right)\\ \mathbf{elif}\;z \cdot t \leq 2 \cdot 10^{+278}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(2, \sqrt{x} \cdot \left(\cos \left(z \cdot \left(t \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \cos y - \sin \left(z \cdot \left(t \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \sin y\right), a \cdot \frac{-0.3333333333333333}{b}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\sqrt{x}, 2, -0.3333333333333333 \cdot \frac{a}{b}\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022170 
(FPCore (x y z t a b)
  :name "Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm  from diagrams-solve-0.1, K"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< z -1.3793337487235141e+129) (- (* (* 2.0 (sqrt x)) (cos (- (/ 1.0 y) (/ (/ 0.3333333333333333 z) t)))) (/ (/ a 3.0) b)) (if (< z 3.516290613555987e+106) (- (* (* (sqrt x) 2.0) (cos (- y (* (/ t 3.0) z)))) (/ (/ a 3.0) b)) (- (* (cos (- y (/ (/ 0.3333333333333333 z) t))) (* 2.0 (sqrt x))) (/ (/ a b) 3.0))))

  (- (* (* 2.0 (sqrt x)) (cos (- y (/ (* z t) 3.0)))) (/ a (* b 3.0))))