Average Error: 0.1 → 0.1
Time: 2.9s
Precision: binary64
\[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
↓
\[a + \left(-0.3333333333333333 + rand \cdot \left(\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)\right)}^{-0.5}\right)\right) \]
(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (*
  (- a (/ 1.0 3.0))
  (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))
↓
(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (+
  a
  (+
   -0.3333333333333333
   (* rand (* (+ a -0.3333333333333333) (pow (fma a 9.0 -3.0) -0.5))))))
double code(double a, double rand) {
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand));
}
↓
double code(double a, double rand) {
	return a + (-0.3333333333333333 + (rand * ((a + -0.3333333333333333) * pow(fma(a, 9.0, -3.0), -0.5))));
}

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a - Float64(1.0 / 3.0)) * Float64(1.0 + Float64(Float64(1.0 / sqrt(Float64(9.0 * Float64(a - Float64(1.0 / 3.0))))) * rand)))
end
↓
function code(a, rand)
	return Float64(a + Float64(-0.3333333333333333 + Float64(rand * Float64(Float64(a + -0.3333333333333333) * (fma(a, 9.0, -3.0) ^ -0.5)))))
end

code[a_, rand_] := N[(N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(1.0 / N[Sqrt[N[(9.0 * N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * rand), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]
↓
code[a_, rand_] := N[(a + N[(-0.3333333333333333 + N[(rand * N[(N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[Power[N[(a * 9.0 + -3.0), $MachinePrecision], -0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)
↓
a + \left(-0.3333333333333333 + rand \cdot \left(\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)\right)}^{-0.5}\right)\right)

Error

Bits error versus a

Bits error versus rand

Derivation

  1. Initial program 0.1

    \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

  2. Simplified0.1

    \[\leadsto \color{blue}{\left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}\right)} \]

  3. Applied egg-rr8.7

    \[\leadsto \color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333 + \frac{rand \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}\right)} \]

  4. Applied egg-rr0.1

    \[\leadsto a + \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{rand \cdot \left(\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)\right)}^{-0.5}\right)}\right) \]

  5. Final simplification0.1

    \[\leadsto a + \left(-0.3333333333333333 + rand \cdot \left(\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot {\left(\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)\right)}^{-0.5}\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022166 
(FPCore (a rand)
  :name "Octave 3.8, oct_fill_randg"
  :precision binary64
  (* (- a (/ 1.0 3.0)) (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))