Average Error: 0.1 → 0.1
Time: 3.3s
Precision: binary64
\[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}\\ \mathsf{fma}\left(rand, \frac{a}{t_0}, rand \cdot \frac{-0.3333333333333333}{t_0}\right) + \left(a + -0.3333333333333333\right) \end{array} \]
(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (*
  (- a (/ 1.0 3.0))
  (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))
↓
(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (fma a 9.0 -3.0))))
   (+
    (fma rand (/ a t_0) (* rand (/ -0.3333333333333333 t_0)))
    (+ a -0.3333333333333333))))
double code(double a, double rand) {
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand));
}
↓
double code(double a, double rand) {
	double t_0 = sqrt(fma(a, 9.0, -3.0));
	return fma(rand, (a / t_0), (rand * (-0.3333333333333333 / t_0))) + (a + -0.3333333333333333);
}

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a - Float64(1.0 / 3.0)) * Float64(1.0 + Float64(Float64(1.0 / sqrt(Float64(9.0 * Float64(a - Float64(1.0 / 3.0))))) * rand)))
end
↓
function code(a, rand)
	t_0 = sqrt(fma(a, 9.0, -3.0))
	return Float64(fma(rand, Float64(a / t_0), Float64(rand * Float64(-0.3333333333333333 / t_0))) + Float64(a + -0.3333333333333333))
end

code[a_, rand_] := N[(N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(1.0 / N[Sqrt[N[(9.0 * N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * rand), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]
↓
code[a_, rand_] := Block[{t$95$0 = N[Sqrt[N[(a * 9.0 + -3.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(N[(rand * N[(a / t$95$0), $MachinePrecision] + N[(rand * N[(-0.3333333333333333 / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)
↓
\begin{array}{l}
t_0 := \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}\\
\mathsf{fma}\left(rand, \frac{a}{t_0}, rand \cdot \frac{-0.3333333333333333}{t_0}\right) + \left(a + -0.3333333333333333\right)
\end{array}

Error

Bits error versus a

Bits error versus rand

Derivation

  1. Initial program 0.1

    \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

  2. Simplified0.1

    \[\leadsto \color{blue}{\left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}\right)} \]

  3. Taylor expanded in rand around 0 8.9

    \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(a \cdot rand\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}}\right) - \left(0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}}\right) + 0.3333333333333333\right)} \]

  4. Simplified0.1

    \[\leadsto \color{blue}{rand \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}} \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)\right) - \left(0.3333333333333333 - a\right)} \]

  5. Applied egg-rr0.1

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(rand, \frac{a}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}, rand \cdot \frac{-0.3333333333333333}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}\right)} - \left(0.3333333333333333 - a\right) \]

  6. Final simplification0.1

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(rand, \frac{a}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}, rand \cdot \frac{-0.3333333333333333}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}\right) + \left(a + -0.3333333333333333\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022162 
(FPCore (a rand)
  :name "Octave 3.8, oct_fill_randg"
  :precision binary64
  (* (- a (/ 1.0 3.0)) (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))