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Precision: binary32
\[\left(\left(-1 \leq sinTheta_O \land sinTheta_O \leq 1\right) \land \left(-1 \leq h \land h \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq eta \land eta \leq 10\right)\]
\[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta_O \cdot sinTheta_O}{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}\right) \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}\\ \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta - t_0} \cdot \sqrt{eta + t_0}}\right) \end{array} \]
\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta_O \cdot sinTheta_O}{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}\right)
↓
\begin{array}{l}
t_0 := \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}\\
\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta - t_0} \cdot \sqrt{eta + t_0}}\right)
\end{array}

(FPCore (sinTheta_O h eta)
 :precision binary32
 (asin
  (/
   h
   (sqrt
    (-
     (* eta eta)
     (/
      (* sinTheta_O sinTheta_O)
      (sqrt (- 1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O)))))))))
↓
(FPCore (sinTheta_O h eta)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ sinTheta_O (sqrt (sqrt (- 1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O)))))))
   (asin (/ h (* (sqrt (- eta t_0)) (sqrt (+ eta t_0)))))))
float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	return asinf((h / sqrtf(((eta * eta) - ((sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrtf((1.0f - (sinTheta_O * sinTheta_O))))))));
}
↓
float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	float t_0 = sinTheta_O / sqrtf(sqrtf((1.0f - (sinTheta_O * sinTheta_O))));
	return asinf((h / (sqrtf((eta - t_0)) * sqrtf((eta + t_0)))));
}

Error

Bits error versus sinTheta_O

Bits error versus h

Bits error versus eta

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Derivation

  1. Initial program 2.6

    \[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta_O \cdot sinTheta_O}{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}\right) \]

  2. Applied add-sqr-sqrt_binary322.6

    \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta_O \cdot sinTheta_O}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}} \cdot \sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}}}\right) \]

  3. Applied times-frac_binary322.6

    \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \color{blue}{\frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}} \cdot \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}}}\right) \]

  4. Applied difference-of-squares_binary322.6

    \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{\color{blue}{\left(eta + \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}\right) \cdot \left(eta - \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}\right)}}}\right) \]

  5. Applied sqrt-prod_binary320.5

    \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\color{blue}{\sqrt{eta + \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}} \cdot \sqrt{eta - \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}}}\right) \]

  6. Applied associate-/r*_binary320.5

    \[\leadsto \sin^{-1} \color{blue}{\left(\frac{\frac{h}{\sqrt{eta + \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}}}{\sqrt{eta - \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}}\right)} \]

  7. Applied associate-/l/_binary320.5

    \[\leadsto \sin^{-1} \color{blue}{\left(\frac{h}{\sqrt{eta - \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}} \cdot \sqrt{eta + \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}}\right)} \]

  8. Final simplification0.5

    \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta - \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}} \cdot \sqrt{eta + \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}}\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022160 
(FPCore (sinTheta_O h eta)
  :name "HairBSDF, gamma for a refracted ray"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (<= -1.0 sinTheta_O) (<= sinTheta_O 1.0)) (and (<= -1.0 h) (<= h 1.0))) (and (<= 0.0 eta) (<= eta 10.0)))
  (asin (/ h (sqrt (- (* eta eta) (/ (* sinTheta_O sinTheta_O) (sqrt (- 1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O)))))))))