Average Error: 1.0 → 0.1
Time: 6.4s
Precision: binary64
\[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\\ 2 \cdot \left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \frac{t_0}{3}\right)\right)}}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, t_0 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right) \end{array} \]
2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)
↓
\begin{array}{l}
t_0 := \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\\
2 \cdot \left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \frac{t_0}{3}\right)\right)}}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, t_0 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right)
\end{array}

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))
↓
(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (- (/ g h)))))
   (*
    2.0
    (+
     (* 2.0 (log (cbrt (exp (cos (fma 0.6666666666666666 PI (/ t_0 3.0)))))))
     (*
      0.3333333333333333
      (cos (fma 0.6666666666666666 PI (* t_0 0.3333333333333333))))))))
double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}
↓
double code(double g, double h) {
	double t_0 = acos(-(g / h));
	return 2.0 * ((2.0 * log(cbrt(exp(cos(fma(0.6666666666666666, ((double) M_PI), (t_0 / 3.0))))))) + (0.3333333333333333 * cos(fma(0.6666666666666666, ((double) M_PI), (t_0 * 0.3333333333333333)))));
}

Error

Bits error versus g

Bits error versus h

Derivation

  1. Initial program 1.0

    \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

  2. Simplified1.0

    \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

  3. Applied add-log-exp_binary641.0

    \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\log \left(e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}\right)} \]

  4. Applied add-cube-cbrt_binary640.1

    \[\leadsto 2 \cdot \log \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}}\right)} \]

  5. Applied log-prod_binary640.1

    \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}}\right)\right)} \]

  6. Simplified0.1

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)}}\right) \cdot 2} + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}}\right)\right) \]

  7. Simplified0.1

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)}}\right) \cdot 2 + \color{blue}{\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)}}\right)}\right) \]

  8. Taylor expanded in g around 0 0.1

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)}}\right) \cdot 2 + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\right)}\right) \]

  9. Simplified0.1

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)}}\right) \cdot 2 + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\right)\right)}\right) \]

  10. Final simplification0.1

    \[\leadsto 2 \cdot \left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)}}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022160 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))