Average Error: 20.5 → 16.3
Time: 12.4s
Precision: binary64
\[[z, t]=\mathsf{sort}([z, t])\]
\[\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right) - \frac{a}{b \cdot 3} \]
↓
\[\begin{array}{l} t_1 := y - \frac{z \cdot t}{3}\\ t_2 := 2 \cdot \sqrt{x}\\ \mathbf{if}\;t_1 \leq -1.8581223082965668 \cdot 10^{+210} \lor \neg \left(t_1 \leq 5.013021847941442 \cdot 10^{+281}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(a, \frac{\frac{1}{b}}{-3}, t_2 \cdot \cos y\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, t_2 \cdot \left(\cos y \cdot \cos \left(\left(z \cdot t\right) \cdot 0.3333333333333333\right) - \sin y \cdot \sin \left(z \cdot \left(t \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]
\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right) - \frac{a}{b \cdot 3}
↓
\begin{array}{l}
t_1 := y - \frac{z \cdot t}{3}\\
t_2 := 2 \cdot \sqrt{x}\\
\mathbf{if}\;t_1 \leq -1.8581223082965668 \cdot 10^{+210} \lor \neg \left(t_1 \leq 5.013021847941442 \cdot 10^{+281}\right):\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(a, \frac{\frac{1}{b}}{-3}, t_2 \cdot \cos y\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, t_2 \cdot \left(\cos y \cdot \cos \left(\left(z \cdot t\right) \cdot 0.3333333333333333\right) - \sin y \cdot \sin \left(z \cdot \left(t \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)\\


\end{array}

(FPCore (x y z t a b)
 :precision binary64
 (- (* (* 2.0 (sqrt x)) (cos (- y (/ (* z t) 3.0)))) (/ a (* b 3.0))))
↓
(FPCore (x y z t a b)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (- y (/ (* z t) 3.0))) (t_2 (* 2.0 (sqrt x))))
   (if (or (<= t_1 -1.8581223082965668e+210)
           (not (<= t_1 5.013021847941442e+281)))
     (fma a (/ (/ 1.0 b) -3.0) (* t_2 (cos y)))
     (fma
      a
      (/ -0.3333333333333333 b)
      (*
       t_2
       (-
        (* (cos y) (cos (* (* z t) 0.3333333333333333)))
        (* (sin y) (sin (* z (* t -0.3333333333333333))))))))))
double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b) {
	return ((2.0 * sqrt(x)) * cos((y - ((z * t) / 3.0)))) - (a / (b * 3.0));
}
↓
double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b) {
	double t_1 = y - ((z * t) / 3.0);
	double t_2 = 2.0 * sqrt(x);
	double tmp;
	if ((t_1 <= -1.8581223082965668e+210) || !(t_1 <= 5.013021847941442e+281)) {
		tmp = fma(a, ((1.0 / b) / -3.0), (t_2 * cos(y)));
	} else {
		tmp = fma(a, (-0.3333333333333333 / b), (t_2 * ((cos(y) * cos(((z * t) * 0.3333333333333333))) - (sin(y) * sin((z * (t * -0.3333333333333333)))))));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Target

Original20.5
Target18.4
Herbie16.3
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z < -1.3793337487235141 \cdot 10^{+129}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(\frac{1}{y} - \frac{\frac{0.3333333333333333}{z}}{t}\right) - \frac{\frac{a}{3}}{b}\\ \mathbf{elif}\;z < 3.516290613555987 \cdot 10^{+106}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x} \cdot 2\right) \cdot \cos \left(y - \frac{t}{3} \cdot z\right) - \frac{\frac{a}{3}}{b}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(y - \frac{\frac{0.3333333333333333}{z}}{t}\right) \cdot \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) - \frac{\frac{a}{b}}{3}\\ \end{array} \]

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if (-.f64 y (/.f64 (*.f64 z t) 3)) < -1.85812230829656681e210 or 5.0130218479414421e281 < (-.f64 y (/.f64 (*.f64 z t) 3))

    1. Initial program 42.1

      \[\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right) - \frac{a}{b \cdot 3} \]

    2. Simplified42.0

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(z, t \cdot -0.3333333333333333, y\right)\right)\right)} \]

    3. Taylor expanded in z around 0 27.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \color{blue}{\cos y}\right) \]

    4. Applied clear-num_binary6427.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(a, \color{blue}{\frac{1}{\frac{b}{-0.3333333333333333}}}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos y\right) \]

    5. Applied div-inv_binary6427.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(a, \frac{1}{\color{blue}{b \cdot \frac{1}{-0.3333333333333333}}}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos y\right) \]

    6. Applied associate-/r*_binary6427.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(a, \color{blue}{\frac{\frac{1}{b}}{\frac{1}{-0.3333333333333333}}}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos y\right) \]

    if -1.85812230829656681e210 < (-.f64 y (/.f64 (*.f64 z t) 3)) < 5.0130218479414421e281

    1. Initial program 12.9

      \[\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right) - \frac{a}{b \cdot 3} \]

    2. Simplified12.9

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(z, t \cdot -0.3333333333333333, y\right)\right)\right)} \]

    3. Applied fma-udef_binary6413.0

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \color{blue}{\left(z \cdot \left(t \cdot -0.3333333333333333\right) + y\right)}\right) \]

    4. Applied cos-sum_binary6412.5

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(z \cdot \left(t \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \cos y - \sin \left(z \cdot \left(t \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \sin y\right)}\right) \]

    5. Simplified12.5

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \left(\color{blue}{\cos y \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \left(t \cdot z\right)\right)} - \sin \left(z \cdot \left(t \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \sin y\right)\right) \]

    6. Simplified12.5

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \left(\cos y \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \left(t \cdot z\right)\right) - \color{blue}{\sin y \cdot \sin \left(z \cdot \left(t \cdot -0.3333333333333333\right)\right)}\right)\right) \]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification16.3

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y - \frac{z \cdot t}{3} \leq -1.8581223082965668 \cdot 10^{+210} \lor \neg \left(y - \frac{z \cdot t}{3} \leq 5.013021847941442 \cdot 10^{+281}\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(a, \frac{\frac{1}{b}}{-3}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos y\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \left(\cos y \cdot \cos \left(\left(z \cdot t\right) \cdot 0.3333333333333333\right) - \sin y \cdot \sin \left(z \cdot \left(t \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022160 
(FPCore (x y z t a b)
  :name "Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm  from diagrams-solve-0.1, K"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< z -1.3793337487235141e+129) (- (* (* 2.0 (sqrt x)) (cos (- (/ 1.0 y) (/ (/ 0.3333333333333333 z) t)))) (/ (/ a 3.0) b)) (if (< z 3.516290613555987e+106) (- (* (* (sqrt x) 2.0) (cos (- y (* (/ t 3.0) z)))) (/ (/ a 3.0) b)) (- (* (cos (- y (/ (/ 0.3333333333333333 z) t))) (* 2.0 (sqrt x))) (/ (/ a b) 3.0))))

  (- (* (* 2.0 (sqrt x)) (cos (- y (/ (* z t) 3.0)))) (/ a (* b 3.0))))