Average Error: 43.0 → 0.6
Time: 8.2s
Precision: binary64
\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
↓
\[\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) - \sin re \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, {im}^{5}, 0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) \]
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (-
  (* (sin re) (- (* (pow im 3.0) -0.16666666666666666) im))
  (*
   (sin re)
   (fma
    0.008333333333333333
    (pow im 5.0)
    (* 0.0001984126984126984 (pow im 7.0))))))
double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}
↓
double code(double re, double im) {
	return (sin(re) * ((pow(im, 3.0) * -0.16666666666666666) - im)) - (sin(re) * fma(0.008333333333333333, pow(im, 5.0), (0.0001984126984126984 * pow(im, 7.0))));
}

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end
↓
function code(re, im)
	return Float64(Float64(sin(re) * Float64(Float64((im ^ 3.0) * -0.16666666666666666) - im)) - Float64(sin(re) * fma(0.008333333333333333, (im ^ 5.0), Float64(0.0001984126984126984 * (im ^ 7.0)))))
end

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]
↓
code[re_, im_] := N[(N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision] - im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(0.008333333333333333 * N[Power[im, 5.0], $MachinePrecision] + N[(0.0001984126984126984 * N[Power[im, 7.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)
↓
\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) - \sin re \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, {im}^{5}, 0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right)

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original43.0
Target0.3
Herbie0.6
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

  1. Initial program 43.0

    \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

  2. Taylor expanded in im around 0 0.6

    \[\leadsto \color{blue}{-\left(\sin re \cdot im + \left(0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + 0.0001984126984126984 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{7}\right)\right)\right)\right)} \]

  3. Simplified0.6

    \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(\left(-im\right) - {im}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right) - \sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot 0.008333333333333333 + {im}^{7} \cdot 0.0001984126984126984\right)} \]

  4. Taylor expanded in re around inf 0.6

    \[\leadsto \sin re \cdot \left(\left(-im\right) - {im}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right) - \color{blue}{\sin re \cdot \left(0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} + 0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right)} \]

  5. Simplified0.6

    \[\leadsto \sin re \cdot \left(\left(-im\right) - {im}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right) - \color{blue}{\sin re \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, {im}^{5}, 0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right)} \]

  6. Final simplification0.6

    \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right) - \sin re \cdot \mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, {im}^{5}, 0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7}\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022160 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))