Average Error: 58.0 → 0.6
Time: 12.4s
Precision: binary64
\[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
↓
\[\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {im}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {im}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {im}^{7}, im \cdot 2\right)\right)\right) \cdot \left(\cos re \cdot -0.5\right) \]
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (*
  (fma
   0.016666666666666666
   (pow im 5.0)
   (fma
    0.3333333333333333
    (pow im 3.0)
    (fma 0.0003968253968253968 (pow im 7.0) (* im 2.0))))
  (* (cos re) -0.5)))
double code(double re, double im) {
	return (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
}
↓
double code(double re, double im) {
	return fma(0.016666666666666666, pow(im, 5.0), fma(0.3333333333333333, pow(im, 3.0), fma(0.0003968253968253968, pow(im, 7.0), (im * 2.0)))) * (cos(re) * -0.5);
}

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) - exp(im)))
end
↓
function code(re, im)
	return Float64(fma(0.016666666666666666, (im ^ 5.0), fma(0.3333333333333333, (im ^ 3.0), fma(0.0003968253968253968, (im ^ 7.0), Float64(im * 2.0)))) * Float64(cos(re) * -0.5))
end

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]
↓
code[re_, im_] := N[(N[(0.016666666666666666 * N[Power[im, 5.0], $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision] + N[(0.0003968253968253968 * N[Power[im, 7.0], $MachinePrecision] + N[(im * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * -0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)
↓
\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {im}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {im}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {im}^{7}, im \cdot 2\right)\right)\right) \cdot \left(\cos re \cdot -0.5\right)

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original58.0
Target0.2
Herbie0.6
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\cos re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

  1. Initial program 58.0

    \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]

  2. Taylor expanded in im around 0 0.6

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(-\left(0.016666666666666666 \cdot {im}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {im}^{3} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7} + 2 \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

  3. Simplified0.6

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot -0.016666666666666666 - \mathsf{fma}\left(im, 2, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {im}^{3}, 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)\right)\right)} \]

  4. Taylor expanded in re around inf 0.6

    \[\leadsto \color{blue}{-0.5 \cdot \left(\left(0.016666666666666666 \cdot {im}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {im}^{3} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7} + 2 \cdot im\right)\right)\right) \cdot \cos re\right)} \]

  5. Simplified0.6

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {im}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {im}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {im}^{7}, im \cdot 2\right)\right)\right) \cdot \left(\cos re \cdot -0.5\right)} \]

  6. Final simplification0.6

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {im}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {im}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {im}^{7}, im \cdot 2\right)\right)\right) \cdot \left(\cos re \cdot -0.5\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022160 
(FPCore (re im)
  :name "math.sin on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (cos re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))