Average Error: 0.4 → 0.6
Time: 5.7s
Precision: binary64
\[\left(0 \leq u1 \land u1 \leq 1\right) \land \left(0 \leq u2 \land u2 \leq 1\right)\]
\[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := \sqrt{-\log u1}\\ \mathsf{fma}\left(t_0, 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{2}, 0.5\right) + \left(t_0 \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \left(0.1111111111111111 \cdot \left({u2}^{4} \cdot {\pi}^{4}\right) + {\pi}^{2} \cdot \left(u2 \cdot \left(u2 \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) \end{array} \]
(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+
  (* (* (/ 1.0 6.0) (pow (* -2.0 (log u1)) 0.5)) (cos (* (* 2.0 PI) u2)))
  0.5))
↓
(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (- (log u1)))))
   (+
    (fma t_0 (* 0.16666666666666666 (sqrt 2.0)) 0.5)
    (*
     (* t_0 (sqrt 2.0))
     (+
      (* 0.1111111111111111 (* (pow u2 4.0) (pow PI 4.0)))
      (* (pow PI 2.0) (* u2 (* u2 -0.3333333333333333))))))))
double code(double u1, double u2) {
	return (((1.0 / 6.0) * pow((-2.0 * log(u1)), 0.5)) * cos(((2.0 * ((double) M_PI)) * u2))) + 0.5;
}
↓
double code(double u1, double u2) {
	double t_0 = sqrt(-log(u1));
	return fma(t_0, (0.16666666666666666 * sqrt(2.0)), 0.5) + ((t_0 * sqrt(2.0)) * ((0.1111111111111111 * (pow(u2, 4.0) * pow(((double) M_PI), 4.0))) + (pow(((double) M_PI), 2.0) * (u2 * (u2 * -0.3333333333333333)))));
}

function code(u1, u2)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 / 6.0) * (Float64(-2.0 * log(u1)) ^ 0.5)) * cos(Float64(Float64(2.0 * pi) * u2))) + 0.5)
end
↓
function code(u1, u2)
	t_0 = sqrt(Float64(-log(u1)))
	return Float64(fma(t_0, Float64(0.16666666666666666 * sqrt(2.0)), 0.5) + Float64(Float64(t_0 * sqrt(2.0)) * Float64(Float64(0.1111111111111111 * Float64((u2 ^ 4.0) * (pi ^ 4.0))) + Float64((pi ^ 2.0) * Float64(u2 * Float64(u2 * -0.3333333333333333))))))
end

code[u1_, u2_] := N[(N[(N[(N[(1.0 / 6.0), $MachinePrecision] * N[Power[N[(-2.0 * N[Log[u1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] * u2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision]
↓
code[u1_, u2_] := Block[{t$95$0 = N[Sqrt[(-N[Log[u1], $MachinePrecision])], $MachinePrecision]}, N[(N[(t$95$0 * N[(0.16666666666666666 * N[Sqrt[2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$0 * N[Sqrt[2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(0.1111111111111111 * N[(N[Power[u2, 4.0], $MachinePrecision] * N[Power[Pi, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[Pi, 2.0], $MachinePrecision] * N[(u2 * N[(u2 * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5
↓
\begin{array}{l}
t_0 := \sqrt{-\log u1}\\
\mathsf{fma}\left(t_0, 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{2}, 0.5\right) + \left(t_0 \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \left(0.1111111111111111 \cdot \left({u2}^{4} \cdot {\pi}^{4}\right) + {\pi}^{2} \cdot \left(u2 \cdot \left(u2 \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)
\end{array}

Error

Bits error versus u1

Bits error versus u2

Derivation

  1. Initial program 0.4

    \[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]

  2. Taylor expanded in u1 around inf 0.3

    \[\leadsto \color{blue}{0.5 + 0.16666666666666666 \cdot \left(\sqrt{\log \left(\frac{1}{u1}\right)} \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)\right)\right)} \]

  3. Simplified0.3

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \sqrt{-\log u1} \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right)\right), 0.5\right)} \]

  4. Taylor expanded in u2 around 0 0.6

    \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{-\log u1}\right) + \left(0.1111111111111111 \cdot \left({u2}^{4} \cdot \left({\pi}^{4} \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{-\log u1}\right)\right)\right) + 0.5\right)\right) - 0.3333333333333333 \cdot \left({u2}^{2} \cdot \left({\pi}^{2} \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{-\log u1}\right)\right)\right)} \]

  5. Simplified0.7

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{2}, 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-\log u1}, 0.5\right) + \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{-\log u1}\right) \cdot \left(0.1111111111111111 \cdot \left({u2}^{4} \cdot {\pi}^{4}\right) + {\pi}^{2} \cdot \left(u2 \cdot \left(u2 \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right)} \]

  6. Taylor expanded in u1 around 0 0.6

    \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{-\log u1}\right) + 0.5\right)} + \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{-\log u1}\right) \cdot \left(0.1111111111111111 \cdot \left({u2}^{4} \cdot {\pi}^{4}\right) + {\pi}^{2} \cdot \left(u2 \cdot \left(u2 \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) \]

  7. Simplified0.6

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{-\log u1}, 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{2}, 0.5\right)} + \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{-\log u1}\right) \cdot \left(0.1111111111111111 \cdot \left({u2}^{4} \cdot {\pi}^{4}\right) + {\pi}^{2} \cdot \left(u2 \cdot \left(u2 \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) \]

  8. Final simplification0.6

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{-\log u1}, 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{2}, 0.5\right) + \left(\sqrt{-\log u1} \cdot \sqrt{2}\right) \cdot \left(0.1111111111111111 \cdot \left({u2}^{4} \cdot {\pi}^{4}\right) + {\pi}^{2} \cdot \left(u2 \cdot \left(u2 \cdot -0.3333333333333333\right)\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022159 
(FPCore (u1 u2)
  :name "normal distribution"
  :precision binary64
  :pre (and (and (<= 0.0 u1) (<= u1 1.0)) (and (<= 0.0 u2) (<= u2 1.0)))
  (+ (* (* (/ 1.0 6.0) (pow (* -2.0 (log u1)) 0.5)) (cos (* (* 2.0 PI) u2))) 0.5))