math.cos on complex, imaginary part

Average Error: 43.3 → 0.8

Time: 8.7s

Precision: binary64

Math

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

↓

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{5} \cdot -0.016666666666666666 + {im}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right) + im \cdot -2\right) \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (*
  (* 0.5 (sin re))
  (+
   (+
    (* (pow im 5.0) -0.016666666666666666)
    (* (pow im 3.0) -0.3333333333333333))
   (* im -2.0))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

↓

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (((pow(im, 5.0) * -0.016666666666666666) + (pow(im, 3.0) * -0.3333333333333333)) + (im * -2.0));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

↓

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * ((((im ** 5.0d0) * (-0.016666666666666666d0)) + ((im ** 3.0d0) * (-0.3333333333333333d0))) + (im * (-2.0d0)))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

↓

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (((Math.pow(im, 5.0) * -0.016666666666666666) + (Math.pow(im, 3.0) * -0.3333333333333333)) + (im * -2.0));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

↓

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (((math.pow(im, 5.0) * -0.016666666666666666) + (math.pow(im, 3.0) * -0.3333333333333333)) + (im * -2.0))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

↓

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(Float64(Float64((im ^ 5.0) * -0.016666666666666666) + Float64((im ^ 3.0) * -0.3333333333333333)) + Float64(im * -2.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

↓

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * ((((im ^ 5.0) * -0.016666666666666666) + ((im ^ 3.0) * -0.3333333333333333)) + (im * -2.0));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[Power[im, 5.0], $MachinePrecision] * -0.016666666666666666), $MachinePrecision] + N[(N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(im * -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	43.3
Target	0.3
Herbie	0.8

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Initial program 43.3

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

2. Taylor expanded in im around 0 0.8

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-\left(0.016666666666666666 \cdot {im}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {im}^{3} + 2 \cdot im\right)\right)\right)} \]

3. Simplified 0.8

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({im}^{5}, -0.016666666666666666, \mathsf{fma}\left({im}^{3}, -0.3333333333333333, -2 \cdot im\right)\right)} \]

4. Applied egg-rr 0.8

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(\left({im}^{5} \cdot -0.016666666666666666 + {im}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right) + im \cdot -2\right)} \]

5. Final simplification 0.8

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(\left({im}^{5} \cdot -0.016666666666666666 + {im}^{3} \cdot -0.3333333333333333\right) + im \cdot -2\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022159 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))