math.sin on complex, imaginary part

Average Error: 58.0 → 0.8

Time: 8.8s

Precision: binary64

Math

\[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]

↓

\[\left(\left(\cos re \cdot {im}^{3}\right) \cdot -0.16666666666666666 + \left(\cos re \cdot {im}^{5}\right) \cdot -0.008333333333333333\right) - \cos re \cdot im \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (-
  (+
   (* (* (cos re) (pow im 3.0)) -0.16666666666666666)
   (* (* (cos re) (pow im 5.0)) -0.008333333333333333))
  (* (cos re) im)))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
}

↓

double code(double re, double im) {
	return (((cos(re) * pow(im, 3.0)) * -0.16666666666666666) + ((cos(re) * pow(im, 5.0)) * -0.008333333333333333)) - (cos(re) * im);
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * cos(re)) * (exp((0.0d0 - im)) - exp(im))
end function

↓

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (((cos(re) * (im ** 3.0d0)) * (-0.16666666666666666d0)) + ((cos(re) * (im ** 5.0d0)) * (-0.008333333333333333d0))) - (cos(re) * im)
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.cos(re)) * (Math.exp((0.0 - im)) - Math.exp(im));
}

↓

public static double code(double re, double im) {
	return (((Math.cos(re) * Math.pow(im, 3.0)) * -0.16666666666666666) + ((Math.cos(re) * Math.pow(im, 5.0)) * -0.008333333333333333)) - (Math.cos(re) * im);
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.cos(re)) * (math.exp((0.0 - im)) - math.exp(im))

↓

def code(re, im):
	return (((math.cos(re) * math.pow(im, 3.0)) * -0.16666666666666666) + ((math.cos(re) * math.pow(im, 5.0)) * -0.008333333333333333)) - (math.cos(re) * im)

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) - exp(im)))
end

↓

function code(re, im)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(cos(re) * (im ^ 3.0)) * -0.16666666666666666) + Float64(Float64(cos(re) * (im ^ 5.0)) * -0.008333333333333333)) - Float64(cos(re) * im))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
end

↓

function tmp = code(re, im)
	tmp = (((cos(re) * (im ^ 3.0)) * -0.16666666666666666) + ((cos(re) * (im ^ 5.0)) * -0.008333333333333333)) - (cos(re) * im);
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[re_, im_] := N[(N[(N[(N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[Power[im, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * -0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	58.0
Target	0.2
Herbie	0.8

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\cos re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Initial program 58.0

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]

2. Taylor expanded in im around 0 0.8

   \[\leadsto \color{blue}{-\left(\cos re \cdot im + \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{3}\right) + 0.008333333333333333 \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{5}\right)\right)\right)} \]

3. Final simplification 0.8

   \[\leadsto \left(\left(\cos re \cdot {im}^{3}\right) \cdot -0.16666666666666666 + \left(\cos re \cdot {im}^{5}\right) \cdot -0.008333333333333333\right) - \cos re \cdot im \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022159 
(FPCore (re im)
  :name "math.sin on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (cos re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))