Average Error: 43.4 → 0.7
Time: 9.1s
Precision: binary64
\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
↓
\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \mathsf{fma}\left({im}^{5}, -0.016666666666666666, \mathsf{fma}\left({im}^{3}, -0.3333333333333333, im \cdot -2\right)\right) \]
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (*
  (* 0.5 (sin re))
  (fma
   (pow im 5.0)
   -0.016666666666666666
   (fma (pow im 3.0) -0.3333333333333333 (* im -2.0)))))
double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}
↓
double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * fma(pow(im, 5.0), -0.016666666666666666, fma(pow(im, 3.0), -0.3333333333333333, (im * -2.0)));
}

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end
↓
function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * fma((im ^ 5.0), -0.016666666666666666, fma((im ^ 3.0), -0.3333333333333333, Float64(im * -2.0))))
end

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]
↓
code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Power[im, 5.0], $MachinePrecision] * -0.016666666666666666 + N[(N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision] * -0.3333333333333333 + N[(im * -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)
↓
\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \mathsf{fma}\left({im}^{5}, -0.016666666666666666, \mathsf{fma}\left({im}^{3}, -0.3333333333333333, im \cdot -2\right)\right)

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original43.4
Target0.3
Herbie0.7
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

  1. Initial program 43.4

    \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

  2. Taylor expanded in im around 0 0.7

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-\left(0.016666666666666666 \cdot {im}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {im}^{3} + 2 \cdot im\right)\right)\right)} \]

  3. Simplified0.7

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({im}^{5}, -0.016666666666666666, \mathsf{fma}\left({im}^{3}, -0.3333333333333333, -2 \cdot im\right)\right)} \]

  4. Final simplification0.7

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \mathsf{fma}\left({im}^{5}, -0.016666666666666666, \mathsf{fma}\left({im}^{3}, -0.3333333333333333, im \cdot -2\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022155 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))