Average Error: 0.1 → 0.1
Time: 3.1s
Precision: binary64
\[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
↓
\[-0.3333333333333333 + \mathsf{fma}\left(rand, \sqrt{\left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot 0.1111111111111111}, a\right) \]
(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (*
  (- a (/ 1.0 3.0))
  (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))
↓
(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (+
  -0.3333333333333333
  (fma rand (sqrt (* (+ -0.3333333333333333 a) 0.1111111111111111)) a)))
double code(double a, double rand) {
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand));
}
↓
double code(double a, double rand) {
	return -0.3333333333333333 + fma(rand, sqrt(((-0.3333333333333333 + a) * 0.1111111111111111)), a);
}

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a - Float64(1.0 / 3.0)) * Float64(1.0 + Float64(Float64(1.0 / sqrt(Float64(9.0 * Float64(a - Float64(1.0 / 3.0))))) * rand)))
end
↓
function code(a, rand)
	return Float64(-0.3333333333333333 + fma(rand, sqrt(Float64(Float64(-0.3333333333333333 + a) * 0.1111111111111111)), a))
end

code[a_, rand_] := N[(N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(1.0 / N[Sqrt[N[(9.0 * N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * rand), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]
↓
code[a_, rand_] := N[(-0.3333333333333333 + N[(rand * N[Sqrt[N[(N[(-0.3333333333333333 + a), $MachinePrecision] * 0.1111111111111111), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)
↓
-0.3333333333333333 + \mathsf{fma}\left(rand, \sqrt{\left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot 0.1111111111111111}, a\right)

Error

Bits error versus a

Bits error versus rand

Derivation

  1. Initial program 0.1

    \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

  2. Taylor expanded in rand around 0 0.1

    \[\leadsto \color{blue}{\left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\right) - 0.3333333333333333} \]

  3. Simplified0.1

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, rand \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}, -0.3333333333333333 + a\right)} \]

  4. Taylor expanded in rand around 0 0.1

    \[\leadsto \color{blue}{\left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\right) - 0.3333333333333333} \]

  5. Simplified0.1

    \[\leadsto \color{blue}{-0.3333333333333333 + \mathsf{fma}\left(rand, 0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}, a\right)} \]

  6. Applied egg-rr0.1

    \[\leadsto -0.3333333333333333 + \mathsf{fma}\left(rand, \color{blue}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 0.1111111111111111}}, a\right) \]

  7. Final simplification0.1

    \[\leadsto -0.3333333333333333 + \mathsf{fma}\left(rand, \sqrt{\left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot 0.1111111111111111}, a\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022153 
(FPCore (a rand)
  :name "Octave 3.8, oct_fill_randg"
  :precision binary64
  (* (- a (/ 1.0 3.0)) (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))