Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B

Average Error: 20.5 → 0.4

Time: 5.5s

Precision: binary64

Math

\[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq -1.0448138720040711 \cdot 10^{+54}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \sqrt[3]{0.00033268376981365636}, x\right)\\ \mathbf{elif}\;z \leq 2.55860350872026 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, {\left({\left(\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291889 + \left(\frac{0.07512208616047561}{z} + \frac{\frac{-0.4046220386999212}{z}}{z}\right), x\right)\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (+
  x
  (/
   (*
    y
    (+
     (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z)
     0.279195317918525))
   (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))

↓

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (if (<= z -1.0448138720040711e+54)
   (fma y (cbrt 0.00033268376981365636) x)
   (if (<= z 2.55860350872026e-5)
     (fma
      y
      (pow
       (pow
        (*
         (fma
          z
          (fma z 0.0692910599291889 0.4917317610505968)
          0.279195317918525)
         (/ 1.0 (fma z (+ z 6.012459259764103) 3.350343815022304)))
        3.0)
       0.3333333333333333)
      x)
     (fma
      y
      (+
       0.0692910599291889
       (+ (/ 0.07512208616047561 z) (/ (/ -0.4046220386999212 z) z)))
      x))))

C

double code(double x, double y, double z) {
	return x + ((y * ((((z * 0.0692910599291889) + 0.4917317610505968) * z) + 0.279195317918525)) / (((z + 6.012459259764103) * z) + 3.350343815022304));
}

↓

double code(double x, double y, double z) {
	double tmp;
	if (z <= -1.0448138720040711e+54) {
		tmp = fma(y, cbrt(0.00033268376981365636), x);
	} else if (z <= 2.55860350872026e-5) {
		tmp = fma(y, pow(pow((fma(z, fma(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968), 0.279195317918525) * (1.0 / fma(z, (z + 6.012459259764103), 3.350343815022304))), 3.0), 0.3333333333333333), x);
	} else {
		tmp = fma(y, (0.0692910599291889 + ((0.07512208616047561 / z) + ((-0.4046220386999212 / z) / z))), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y, z)
	return Float64(x + Float64(Float64(y * Float64(Float64(Float64(Float64(z * 0.0692910599291889) + 0.4917317610505968) * z) + 0.279195317918525)) / Float64(Float64(Float64(z + 6.012459259764103) * z) + 3.350343815022304)))
end

↓

function code(x, y, z)
	tmp = 0.0
	if (z <= -1.0448138720040711e+54)
		tmp = fma(y, cbrt(0.00033268376981365636), x);
	elseif (z <= 2.55860350872026e-5)
		tmp = fma(y, ((Float64(fma(z, fma(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968), 0.279195317918525) * Float64(1.0 / fma(z, Float64(z + 6.012459259764103), 3.350343815022304))) ^ 3.0) ^ 0.3333333333333333), x);
	else
		tmp = fma(y, Float64(0.0692910599291889 + Float64(Float64(0.07512208616047561 / z) + Float64(Float64(-0.4046220386999212 / z) / z))), x);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_, z_] := N[(x + N[(N[(y * N[(N[(N[(N[(z * 0.0692910599291889), $MachinePrecision] + 0.4917317610505968), $MachinePrecision] * z), $MachinePrecision] + 0.279195317918525), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(z + 6.012459259764103), $MachinePrecision] * z), $MachinePrecision] + 3.350343815022304), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_, y_, z_] := If[LessEqual[z, -1.0448138720040711e+54], N[(y * N[Power[0.00033268376981365636, 1/3], $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision], If[LessEqual[z, 2.55860350872026e-5], N[(y * N[Power[N[Power[N[(N[(z * N[(z * 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968), $MachinePrecision] + 0.279195317918525), $MachinePrecision] * N[(1.0 / N[(z * N[(z + 6.012459259764103), $MachinePrecision] + 3.350343815022304), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision], 0.3333333333333333], $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision], N[(y * N[(0.0692910599291889 + N[(N[(0.07512208616047561 / z), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.4046220386999212 / z), $MachinePrecision] / z), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]]]

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original	20.5
Target	0.4
Herbie	0.4

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z < -8120153.652456675:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291889\right) \cdot y - \left(\frac{0.40462203869992125 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \mathbf{elif}\;z < 6.576118972787377 \cdot 10^{+20}:\\ \;\;\;\;x + \left(y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291889\right) \cdot y - \left(\frac{0.40462203869992125 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if z < -1.04481387200407114e54

   1. Initial program 48.4

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

   2. Simplified 39.4

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)} \]

   3. Applied egg-rr 39.4

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{{\left({\left(\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}}, x\right) \]

   4. Taylor expanded in z around inf 0.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{\sqrt[3]{0.00033268376981365636}}, x\right) \]

   if -1.04481387200407114e54 < z < 2.55860350872025987e-5

   1. Initial program 0.8

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

   2. Simplified 0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)} \]

   3. Applied egg-rr 0.4

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{{\left({\left(\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}}, x\right) \]

   4. Applied egg-rr 0.1

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, {\left({\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}\right)}}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}, x\right) \]

   if 2.55860350872025987e-5 < z

   1. Initial program 38.5

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

   2. Simplified 31.6

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)} \]

   3. Taylor expanded in z around inf 1.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{\left(0.0692910599291889 + 0.07512208616047561 \cdot \frac{1}{z}\right) - 0.4046220386999212 \cdot \frac{1}{{z}^{2}}}, x\right) \]

   4. Simplified 1.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{0.0692910599291889 + \left(\frac{0.07512208616047561}{z} - \frac{\frac{0.4046220386999212}{z}}{z}\right)}, x\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 0.4

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq -1.0448138720040711 \cdot 10^{+54}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \sqrt[3]{0.00033268376981365636}, x\right)\\ \mathbf{elif}\;z \leq 2.55860350872026 \cdot 10^{-5}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, {\left({\left(\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291889 + \left(\frac{0.07512208616047561}{z} + \frac{\frac{-0.4046220386999212}{z}}{z}\right), x\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022153 
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< z -8120153.652456675) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x)) (if (< z 6.576118972787377e+20) (+ x (* (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (/ 1.0 (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304)))) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x))))

  (+ x (/ (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))