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Precision: binary32
\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]
\[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := \sqrt{2 \cdot \pi}\\ \mathsf{fma}\left(ux, \left(zi - ux \cdot zi\right) \cdot maxCos, \sqrt{\mathsf{fma}\left(1 - ux, \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right), 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi, \sin \left(t_0 \cdot \left(uy \cdot t_0\right)\right) \cdot yi\right)\right) \end{array} \]
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+
   (*
    (*
     (cos (* (* uy 2.0) PI))
     (sqrt
      (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)))))
    xi)
   (*
    (*
     (sin (* (* uy 2.0) PI))
     (sqrt
      (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)))))
    yi))
  (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))
↓
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (sqrt (* 2.0 PI))))
   (fma
    ux
    (* (- zi (* ux zi)) maxCos)
    (*
     (sqrt
      (fma (- 1.0 ux) (* (* ux (* maxCos (* ux maxCos))) (+ ux -1.0)) 1.0))
     (fma (cos (* uy (* 2.0 PI))) xi (* (sin (* t_0 (* uy t_0))) yi))))))
float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (((cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * (((1.0f - ux) * maxCos) * ux))))) * xi) + ((sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * (((1.0f - ux) * maxCos) * ux))))) * yi)) + ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * zi);
}
↓
float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = sqrtf((2.0f * ((float) M_PI)));
	return fmaf(ux, ((zi - (ux * zi)) * maxCos), (sqrtf(fmaf((1.0f - ux), ((ux * (maxCos * (ux * maxCos))) * (ux + -1.0f)), 1.0f)) * fmaf(cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))), xi, (sinf((t_0 * (uy * t_0))) * yi))));
}

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux))))) * xi) + Float32(Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux))))) * yi)) + Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * zi))
end
↓
function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = sqrt(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	return fma(ux, Float32(Float32(zi - Float32(ux * zi)) * maxCos), Float32(sqrt(fma(Float32(Float32(1.0) - ux), Float32(Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux * maxCos))) * Float32(ux + Float32(-1.0))), Float32(1.0))) * fma(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))), xi, Float32(sin(Float32(t_0 * Float32(uy * t_0))) * yi))))
end

\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi
↓
\begin{array}{l}
t_0 := \sqrt{2 \cdot \pi}\\
\mathsf{fma}\left(ux, \left(zi - ux \cdot zi\right) \cdot maxCos, \sqrt{\mathsf{fma}\left(1 - ux, \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right), 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi, \sin \left(t_0 \cdot \left(uy \cdot t_0\right)\right) \cdot yi\right)\right)
\end{array}

Error

Bits error versus xi

Bits error versus yi

Bits error versus zi

Bits error versus ux

Bits error versus uy

Bits error versus maxCos

Derivation

  1. Initial program 0.3

    \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

  2. Simplified0.3

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(1 - ux, \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right), 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]

  3. Taylor expanded in maxCos around 0 0.3

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \color{blue}{\left(zi - ux \cdot zi\right) \cdot maxCos}, \sqrt{\mathsf{fma}\left(1 - ux, \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right), 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \]

  4. Applied egg-rr0.3

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(zi - ux \cdot zi\right) \cdot maxCos, \sqrt{\mathsf{fma}\left(1 - ux, \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right), 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi, \sin \color{blue}{\left(\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot yi\right)\right) \]

  5. Applied egg-rr0.3

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(zi - ux \cdot zi\right) \cdot maxCos, \sqrt{\mathsf{fma}\left(1 - ux, \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right), 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi, \sin \color{blue}{\left(\sqrt{2 \cdot \pi} \cdot \left(\sqrt{2 \cdot \pi} \cdot uy\right)\right)} \cdot yi\right)\right) \]

  6. Final simplification0.3

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(zi - ux \cdot zi\right) \cdot maxCos, \sqrt{\mathsf{fma}\left(1 - ux, \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right), 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi, \sin \left(\sqrt{2 \cdot \pi} \cdot \left(uy \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}\right)\right) \cdot yi\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022153 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))