Average Error: 13.6 → 0.5
Time: 26.4s
Precision: binary32
\[\left(\left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]
\[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
↓
\[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(2, maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right), 2 \cdot ux\right) - \mathsf{fma}\left(ux, ux, \mathsf{fma}\left(maxCos \cdot maxCos, ux \cdot ux, 2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)} \]
(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* (* uy 2.0) PI))
  (sqrt
   (- 1.0 (* (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))))
↓
(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* (* uy 2.0) PI))
  (sqrt
   (-
    (fma 2.0 (* maxCos (* ux ux)) (* 2.0 ux))
    (fma ux ux (fma (* maxCos maxCos) (* ux ux) (* 2.0 (* maxCos ux))))))))
float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - (((1.0f - ux) + (ux * maxCos)) * ((1.0f - ux) + (ux * maxCos)))));
}
↓
float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((fmaf(2.0f, (maxCos * (ux * ux)), (2.0f * ux)) - fmaf(ux, ux, fmaf((maxCos * maxCos), (ux * ux), (2.0f * (maxCos * ux))))));
}

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(ux * maxCos)) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(ux * maxCos))))))
end
↓
function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(fma(Float32(2.0), Float32(maxCos * Float32(ux * ux)), Float32(Float32(2.0) * ux)) - fma(ux, ux, fma(Float32(maxCos * maxCos), Float32(ux * ux), Float32(Float32(2.0) * Float32(maxCos * ux)))))))
end

\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}
↓
\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(2, maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right), 2 \cdot ux\right) - \mathsf{fma}\left(ux, ux, \mathsf{fma}\left(maxCos \cdot maxCos, ux \cdot ux, 2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)}

Error

Bits error versus ux

Bits error versus uy

Bits error versus maxCos

Derivation

  1. Initial program 13.6

    \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

  2. Taylor expanded in ux around 0 0.5

    \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(2 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + 2 \cdot ux\right) - \left({ux}^{2} + \left({maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2} + 2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)}} \]

  3. Simplified0.5

    \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(2, maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right), 2 \cdot ux\right) - \mathsf{fma}\left(ux, ux, \mathsf{fma}\left(maxCos \cdot maxCos, ux \cdot ux, 2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)}} \]

  4. Final simplification0.5

    \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(2, maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right), 2 \cdot ux\right) - \mathsf{fma}\left(ux, ux, \mathsf{fma}\left(maxCos \cdot maxCos, ux \cdot ux, 2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022152 
(FPCore (ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone, y"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))))