HairBSDF, gamma for a refracted ray

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Precision: binary32

\[\left(\left(-1 \leq sinTheta_O \land sinTheta_O \leq 1\right) \land \left(-1 \leq h \land h \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq eta \land eta \leq 10\right)\]

Math

\[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta_O \cdot sinTheta_O}{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}\right) \]

↓

\[\begin{array}{l} t_0 := \frac{sinTheta_O \cdot sinTheta_O}{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 1.401298464324817 \cdot 10^{-44}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\frac{h}{eta}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - t_0}}\right)\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (sinTheta_O h eta)
 :precision binary32
 (asin
  (/
   h
   (sqrt
    (-
     (* eta eta)
     (/
      (* sinTheta_O sinTheta_O)
      (sqrt (- 1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O)))))))))

↓

(FPCore (sinTheta_O h eta)
 :precision binary32
 (let* ((t_0
         (/
          (* sinTheta_O sinTheta_O)
          (sqrt (- 1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O))))))
   (if (<= t_0 1.401298464324817e-44)
     (asin (/ h eta))
     (asin (/ h (sqrt (- (* eta eta) t_0)))))))

C

float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	return asinf((h / sqrtf(((eta * eta) - ((sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrtf((1.0f - (sinTheta_O * sinTheta_O))))))));
}

↓

float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	float t_0 = (sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrtf((1.0f - (sinTheta_O * sinTheta_O)));
	float tmp;
	if (t_0 <= 1.401298464324817e-44f) {
		tmp = asinf((h / eta));
	} else {
		tmp = asinf((h / sqrtf(((eta * eta) - t_0))));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(4) function code(sintheta_o, h, eta)
    real(4), intent (in) :: sintheta_o
    real(4), intent (in) :: h
    real(4), intent (in) :: eta
    code = asin((h / sqrt(((eta * eta) - ((sintheta_o * sintheta_o) / sqrt((1.0e0 - (sintheta_o * sintheta_o))))))))
end function

↓

real(4) function code(sintheta_o, h, eta)
    real(4), intent (in) :: sintheta_o
    real(4), intent (in) :: h
    real(4), intent (in) :: eta
    real(4) :: t_0
    real(4) :: tmp
    t_0 = (sintheta_o * sintheta_o) / sqrt((1.0e0 - (sintheta_o * sintheta_o)))
    if (t_0 <= 1.401298464324817e-44) then
        tmp = asin((h / eta))
    else
        tmp = asin((h / sqrt(((eta * eta) - t_0))))
    end if
    code = tmp
end function

Julia

function code(sinTheta_O, h, eta)
	return asin(Float32(h / sqrt(Float32(Float32(eta * eta) - Float32(Float32(sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(sinTheta_O * sinTheta_O))))))))
end

↓

function code(sinTheta_O, h, eta)
	t_0 = Float32(Float32(sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(sinTheta_O * sinTheta_O))))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(1.401298464324817e-44))
		tmp = asin(Float32(h / eta));
	else
		tmp = asin(Float32(h / sqrt(Float32(Float32(eta * eta) - t_0))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp = code(sinTheta_O, h, eta)
	tmp = asin((h / sqrt(((eta * eta) - ((sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrt((single(1.0) - (sinTheta_O * sinTheta_O))))))));
end

↓

function tmp_2 = code(sinTheta_O, h, eta)
	t_0 = (sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrt((single(1.0) - (sinTheta_O * sinTheta_O)));
	tmp = single(0.0);
	if (t_0 <= single(1.401298464324817e-44))
		tmp = asin((h / eta));
	else
		tmp = asin((h / sqrt(((eta * eta) - t_0))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Error

Bits error versus sinTheta_O

Bits error versus h

Bits error versus eta

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f32 (*.f32 sinTheta_O sinTheta_O) (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 sinTheta_O sinTheta_O)))) < 1.4013e-44

   1. Initial program 4.4

      \[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta_O \cdot sinTheta_O}{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}\right) \]

   2. Taylor expanded in eta around inf 0.5

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\color{blue}{eta}}\right) \]

   if 1.4013e-44 < (/.f32 (*.f32 sinTheta_O sinTheta_O) (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 sinTheta_O sinTheta_O))))

   1. Initial program 0.1

      \[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta_O \cdot sinTheta_O}{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 0.3

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{sinTheta_O \cdot sinTheta_O}{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}} \leq 1.401298464324817 \cdot 10^{-44}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\frac{h}{eta}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta_O \cdot sinTheta_O}{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022151 
(FPCore (sinTheta_O h eta)
  :name "HairBSDF, gamma for a refracted ray"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (<= -1.0 sinTheta_O) (<= sinTheta_O 1.0)) (and (<= -1.0 h) (<= h 1.0))) (and (<= 0.0 eta) (<= eta 10.0)))
  (asin (/ h (sqrt (- (* eta eta) (/ (* sinTheta_O sinTheta_O) (sqrt (- 1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O)))))))))