Average Error: 59.6 → 36.9
Time: 13.4s
Precision: binary64
\[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]
↓
\[\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\mathsf{fma}\left(x \cdot -0.16666666666666666, x, 0.6666666666666666\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\sqrt{\cos x}}}\right)\right)\right)}{e^{x}} \]
(FPCore (x) :precision binary64 (* (fmod (exp x) (sqrt (cos x))) (exp (- x))))
↓
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (fmod
   (exp x)
   (+
    (fma (* x -0.16666666666666666) x 0.6666666666666666)
    (log (cbrt (exp (sqrt (cos x)))))))
  (exp x)))
double code(double x) {
	return fmod(exp(x), sqrt(cos(x))) * exp(-x);
}
↓
double code(double x) {
	return fmod(exp(x), (fma((x * -0.16666666666666666), x, 0.6666666666666666) + log(cbrt(exp(sqrt(cos(x))))))) / exp(x);
}

function code(x)
	return Float64(rem(exp(x), sqrt(cos(x))) * exp(Float64(-x)))
end
↓
function code(x)
	return Float64(rem(exp(x), Float64(fma(Float64(x * -0.16666666666666666), x, 0.6666666666666666) + log(cbrt(exp(sqrt(cos(x))))))) / exp(x))
end

code[x_] := N[(N[With[{TMP1 = N[Exp[x], $MachinePrecision], TMP2 = N[Sqrt[N[Cos[x], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision] * N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]
↓
code[x_] := N[(N[With[{TMP1 = N[Exp[x], $MachinePrecision], TMP2 = N[(N[(N[(x * -0.16666666666666666), $MachinePrecision] * x + 0.6666666666666666), $MachinePrecision] + N[Log[N[Power[N[Exp[N[Sqrt[N[Cos[x], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Mod[Abs[TMP1], Abs[TMP2]] * Sign[TMP1]], $MachinePrecision] / N[Exp[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x}
↓
\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\mathsf{fma}\left(x \cdot -0.16666666666666666, x, 0.6666666666666666\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\sqrt{\cos x}}}\right)\right)\right)}{e^{x}}

Error

Bits error versus x

Derivation

  1. Initial program 59.6

    \[\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right) \cdot e^{-x} \]

  2. Simplified59.6

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\sqrt{\cos x}\right)\right)}{e^{x}}} \]

  3. Applied egg-rr36.8

    \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \color{blue}{\left(\log \left({\left(\sqrt[3]{e^{\sqrt{\cos x}}}\right)}^{2}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\sqrt{\cos x}}}\right)\right)}\right)}{e^{x}} \]

  4. Taylor expanded in x around 0 36.9

    \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\color{blue}{\left(\log \left({\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{2}\right) - 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} + \log \left(\sqrt[3]{e^{\sqrt{\cos x}}}\right)\right)\right)}{e^{x}} \]

  5. Simplified36.9

    \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x \cdot -0.16666666666666666, x, 0.6666666666666666\right)} + \log \left(\sqrt[3]{e^{\sqrt{\cos x}}}\right)\right)\right)}{e^{x}} \]

  6. Final simplification36.9

    \[\leadsto \frac{\left(\left(e^{x}\right) \bmod \left(\mathsf{fma}\left(x \cdot -0.16666666666666666, x, 0.6666666666666666\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\sqrt{\cos x}}}\right)\right)\right)}{e^{x}} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022151 
(FPCore (x)
  :name "expfmod"
  :precision binary64
  (* (fmod (exp x) (sqrt (cos x))) (exp (- x))))