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Precision: binary32
\[\left(\left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]
\[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
↓
\[\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \left(2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + \left(ux \cdot ux\right) \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, maxCos, 1\right)\right)} \]
(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* (* uy 2.0) PI))
  (sqrt
   (- 1.0 (* (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))))
↓
(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* uy (* 2.0 PI)))
  (sqrt
   (-
    (* 2.0 (fma maxCos (* ux ux) ux))
    (+ (* 2.0 (* maxCos ux)) (* (* ux ux) (fma maxCos maxCos 1.0)))))))
float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - (((1.0f - ux) + (ux * maxCos)) * ((1.0f - ux) + (ux * maxCos)))));
}
↓
float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * sqrtf(((2.0f * fmaf(maxCos, (ux * ux), ux)) - ((2.0f * (maxCos * ux)) + ((ux * ux) * fmaf(maxCos, maxCos, 1.0f)))));
}

function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(ux * maxCos)) * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) + Float32(ux * maxCos))))))
end
↓
function code(ux, uy, maxCos)
	return Float32(sin(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * sqrt(Float32(Float32(Float32(2.0) * fma(maxCos, Float32(ux * ux), ux)) - Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(maxCos * ux)) + Float32(Float32(ux * ux) * fma(maxCos, maxCos, Float32(1.0)))))))
end

\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}
↓
\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \left(2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + \left(ux \cdot ux\right) \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, maxCos, 1\right)\right)}

Error

Bits error versus ux

Bits error versus uy

Bits error versus maxCos

Derivation

  1. Initial program 13.7

    \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

  2. Simplified13.8

    \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(ux, maxCos, 1\right) - ux, ux - \mathsf{fma}\left(ux, maxCos, 1\right), 1\right)}} \]

  3. Taylor expanded in ux around 0 0.5

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(2 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + 2 \cdot ux\right) - \left({ux}^{2} + \left({maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2} + 2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)}} \]

  4. Simplified0.5

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \left(2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + \mathsf{fma}\left(maxCos, maxCos, 1\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)}} \]

  5. Final simplification0.5

    \[\leadsto \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \left(2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right) + \left(ux \cdot ux\right) \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, maxCos, 1\right)\right)} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022150 
(FPCore (ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone, y"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0)) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))))