Numeric.SpecFunctions:invIncompleteBetaWorker from math-functions-0.1.5.2, I

Average Error: 3.8 → 2.5

Time: 8.0s

Precision: binary64

Math

\[\frac{x}{x + y \cdot e^{2 \cdot \left(\frac{z \cdot \sqrt{t + a}}{t} - \left(b - c\right) \cdot \left(\left(a + \frac{5}{6}\right) - \frac{2}{t \cdot 3}\right)\right)}} \]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \leq 6.2302169661545616 \cdot 10^{-307}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{\mathsf{fma}\left(y, {\left(e^{2}\right)}^{\left(\frac{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, b, \mathsf{fma}\left(z, \sqrt{a}, c \cdot -0.6666666666666666\right)\right)\right)\right)}{t}\right)}, x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{\mathsf{fma}\left(y, {\left(e^{2}\right)}^{\left(\mathsf{fma}\left(z, \sqrt{\frac{1}{t}}, \left(b - c\right) \cdot \left(\frac{0.6666666666666666}{t} + \left(-0.8333333333333334 - a\right)\right)\right)\right)}, x\right)}\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t a b c)
 :precision binary64
 (/
  x
  (+
   x
   (*
    y
    (exp
     (*
      2.0
      (-
       (/ (* z (sqrt (+ t a))) t)
       (* (- b c) (- (+ a (/ 5.0 6.0)) (/ 2.0 (* t 3.0)))))))))))

↓

(FPCore (x y z t a b c)
 :precision binary64
 (if (<= t 6.2302169661545616e-307)
   (/
    x
    (fma
     y
     (pow
      (exp 2.0)
      (/
       (log1p
        (expm1
         (fma
          0.6666666666666666
          b
          (fma z (sqrt a) (* c -0.6666666666666666)))))
       t))
     x))
   (/
    x
    (fma
     y
     (pow
      (exp 2.0)
      (fma
       z
       (sqrt (/ 1.0 t))
       (* (- b c) (+ (/ 0.6666666666666666 t) (- -0.8333333333333334 a)))))
     x))))

C

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c) {
	return x / (x + (y * exp((2.0 * (((z * sqrt((t + a))) / t) - ((b - c) * ((a + (5.0 / 6.0)) - (2.0 / (t * 3.0)))))))));
}

↓

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c) {
	double tmp;
	if (t <= 6.2302169661545616e-307) {
		tmp = x / fma(y, pow(exp(2.0), (log1p(expm1(fma(0.6666666666666666, b, fma(z, sqrt(a), (c * -0.6666666666666666))))) / t)), x);
	} else {
		tmp = x / fma(y, pow(exp(2.0), fma(z, sqrt((1.0 / t)), ((b - c) * ((0.6666666666666666 / t) + (-0.8333333333333334 - a))))), x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y, z, t, a, b, c)
	return Float64(x / Float64(x + Float64(y * exp(Float64(2.0 * Float64(Float64(Float64(z * sqrt(Float64(t + a))) / t) - Float64(Float64(b - c) * Float64(Float64(a + Float64(5.0 / 6.0)) - Float64(2.0 / Float64(t * 3.0))))))))))
end

↓

function code(x, y, z, t, a, b, c)
	tmp = 0.0
	if (t <= 6.2302169661545616e-307)
		tmp = Float64(x / fma(y, (exp(2.0) ^ Float64(log1p(expm1(fma(0.6666666666666666, b, fma(z, sqrt(a), Float64(c * -0.6666666666666666))))) / t)), x));
	else
		tmp = Float64(x / fma(y, (exp(2.0) ^ fma(z, sqrt(Float64(1.0 / t)), Float64(Float64(b - c) * Float64(Float64(0.6666666666666666 / t) + Float64(-0.8333333333333334 - a))))), x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_, a_, b_, c_] := N[(x / N[(x + N[(y * N[Exp[N[(2.0 * N[(N[(N[(z * N[Sqrt[N[(t + a), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / t), $MachinePrecision] - N[(N[(b - c), $MachinePrecision] * N[(N[(a + N[(5.0 / 6.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(2.0 / N[(t * 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_, y_, z_, t_, a_, b_, c_] := If[LessEqual[t, 6.2302169661545616e-307], N[(x / N[(y * N[Power[N[Exp[2.0], $MachinePrecision], N[(N[Log[1 + N[(Exp[N[(0.6666666666666666 * b + N[(z * N[Sqrt[a], $MachinePrecision] + N[(c * -0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]] - 1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(x / N[(y * N[Power[N[Exp[2.0], $MachinePrecision], N[(z * N[Sqrt[N[(1.0 / t), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(N[(b - c), $MachinePrecision] * N[(N[(0.6666666666666666 / t), $MachinePrecision] + N[(-0.8333333333333334 - a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Target

Original	3.8
Target	2.6
Herbie	2.5

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;t < -2.118326644891581 \cdot 10^{-50}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{x + y \cdot e^{2 \cdot \left(\left(a \cdot c + 0.8333333333333334 \cdot c\right) - a \cdot b\right)}}\\ \mathbf{elif}\;t < 5.196588770651547 \cdot 10^{-123}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{x + y \cdot e^{2 \cdot \frac{\left(z \cdot \sqrt{t + a}\right) \cdot \left(\left(3 \cdot t\right) \cdot \left(a - \frac{5}{6}\right)\right) - \left(\left(\frac{5}{6} + a\right) \cdot \left(3 \cdot t\right) - 2\right) \cdot \left(\left(a - \frac{5}{6}\right) \cdot \left(\left(b - c\right) \cdot t\right)\right)}{\left(\left(t \cdot t\right) \cdot 3\right) \cdot \left(a - \frac{5}{6}\right)}}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{x + y \cdot e^{2 \cdot \left(\frac{z \cdot \sqrt{t + a}}{t} - \left(b - c\right) \cdot \left(\left(a + \frac{5}{6}\right) - \frac{2}{t \cdot 3}\right)\right)}}\\ \end{array} \]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if t < 6.23021696615456159e-307

   1. Initial program 5.5

      \[\frac{x}{x + y \cdot e^{2 \cdot \left(\frac{z \cdot \sqrt{t + a}}{t} - \left(b - c\right) \cdot \left(\left(a + \frac{5}{6}\right) - \frac{2}{t \cdot 3}\right)\right)}} \]

   2. Simplified 4.7

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\mathsf{fma}\left(y, {\left(e^{2}\right)}^{\left(\mathsf{fma}\left(z, \frac{\sqrt{t + a}}{t}, \left(b - c\right) \cdot \left(\frac{0.6666666666666666}{t} - \left(a + 0.8333333333333334\right)\right)\right)\right)}, x\right)}} \]

   3. Taylor expanded in t around 0 6.5

      \[\leadsto \frac{x}{\mathsf{fma}\left(y, {\left(e^{2}\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{\left(0.6666666666666666 \cdot b + \sqrt{a} \cdot z\right) - 0.6666666666666666 \cdot c}{t}\right)}}, x\right)} \]

   4. Simplified 6.5

      \[\leadsto \frac{x}{\mathsf{fma}\left(y, {\left(e^{2}\right)}^{\color{blue}{\left(\frac{\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, b, \mathsf{fma}\left(z, \sqrt{a}, c \cdot -0.6666666666666666\right)\right)}{t}\right)}}, x\right)} \]

   5. Applied egg-rr 5.1

      \[\leadsto \frac{x}{\mathsf{fma}\left(y, {\left(e^{2}\right)}^{\left(\frac{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, b, \mathsf{fma}\left(z, \sqrt{a}, c \cdot -0.6666666666666666\right)\right)\right)\right)}}{t}\right)}, x\right)} \]

   if 6.23021696615456159e-307 < t

   1. Initial program 3.3

      \[\frac{x}{x + y \cdot e^{2 \cdot \left(\frac{z \cdot \sqrt{t + a}}{t} - \left(b - c\right) \cdot \left(\left(a + \frac{5}{6}\right) - \frac{2}{t \cdot 3}\right)\right)}} \]

   2. Simplified 1.6

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\mathsf{fma}\left(y, {\left(e^{2}\right)}^{\left(\mathsf{fma}\left(z, \frac{\sqrt{t + a}}{t}, \left(b - c\right) \cdot \left(\frac{0.6666666666666666}{t} - \left(a + 0.8333333333333334\right)\right)\right)\right)}, x\right)}} \]

   3. Taylor expanded in a around 0 1.6

      \[\leadsto \frac{x}{\mathsf{fma}\left(y, {\left(e^{2}\right)}^{\left(\mathsf{fma}\left(z, \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{t}}}, \left(b - c\right) \cdot \left(\frac{0.6666666666666666}{t} - \left(a + 0.8333333333333334\right)\right)\right)\right)}, x\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 2.5

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \leq 6.2302169661545616 \cdot 10^{-307}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{\mathsf{fma}\left(y, {\left(e^{2}\right)}^{\left(\frac{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, b, \mathsf{fma}\left(z, \sqrt{a}, c \cdot -0.6666666666666666\right)\right)\right)\right)}{t}\right)}, x\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x}{\mathsf{fma}\left(y, {\left(e^{2}\right)}^{\left(\mathsf{fma}\left(z, \sqrt{\frac{1}{t}}, \left(b - c\right) \cdot \left(\frac{0.6666666666666666}{t} + \left(-0.8333333333333334 - a\right)\right)\right)\right)}, x\right)}\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022150 
(FPCore (x y z t a b c)
  :name "Numeric.SpecFunctions:invIncompleteBetaWorker from math-functions-0.1.5.2, I"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< t -2.118326644891581e-50) (/ x (+ x (* y (exp (* 2.0 (- (+ (* a c) (* 0.8333333333333334 c)) (* a b))))))) (if (< t 5.196588770651547e-123) (/ x (+ x (* y (exp (* 2.0 (/ (- (* (* z (sqrt (+ t a))) (* (* 3.0 t) (- a (/ 5.0 6.0)))) (* (- (* (+ (/ 5.0 6.0) a) (* 3.0 t)) 2.0) (* (- a (/ 5.0 6.0)) (* (- b c) t)))) (* (* (* t t) 3.0) (- a (/ 5.0 6.0))))))))) (/ x (+ x (* y (exp (* 2.0 (- (/ (* z (sqrt (+ t a))) t) (* (- b c) (- (+ a (/ 5.0 6.0)) (/ 2.0 (* t 3.0))))))))))))

  (/ x (+ x (* y (exp (* 2.0 (- (/ (* z (sqrt (+ t a))) t) (* (- b c) (- (+ a (/ 5.0 6.0)) (/ 2.0 (* t 3.0)))))))))))