HairBSDF, gamma for a refracted ray

Average Error: 2.5 → 0.4

Time: 10.0s

Precision: binary32

\[\left(\left(-1 \leq sinTheta_O \land sinTheta_O \leq 1\right) \land \left(-1 \leq h \land h \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq eta \land eta \leq 10\right)\]

Math

\[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta_O \cdot sinTheta_O}{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}\right) \]

↓

\[\begin{array}{l} t_0 := \frac{sinTheta_O \cdot sinTheta_O}{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 0:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\frac{h}{eta}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(eta, eta, -t_0\right)}}\right)\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (sinTheta_O h eta)
 :precision binary32
 (asin
  (/
   h
   (sqrt
    (-
     (* eta eta)
     (/
      (* sinTheta_O sinTheta_O)
      (sqrt (- 1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O)))))))))

↓

(FPCore (sinTheta_O h eta)
 :precision binary32
 (let* ((t_0
         (/
          (* sinTheta_O sinTheta_O)
          (sqrt (- 1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O))))))
   (if (<= t_0 0.0)
     (asin (/ h eta))
     (asin (/ h (sqrt (fma eta eta (- t_0))))))))

C

float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	return asinf((h / sqrtf(((eta * eta) - ((sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrtf((1.0f - (sinTheta_O * sinTheta_O))))))));
}

↓

float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	float t_0 = (sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrtf((1.0f - (sinTheta_O * sinTheta_O)));
	float tmp;
	if (t_0 <= 0.0f) {
		tmp = asinf((h / eta));
	} else {
		tmp = asinf((h / sqrtf(fmaf(eta, eta, -t_0))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(sinTheta_O, h, eta)
	return asin(Float32(h / sqrt(Float32(Float32(eta * eta) - Float32(Float32(sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(sinTheta_O * sinTheta_O))))))))
end

↓

function code(sinTheta_O, h, eta)
	t_0 = Float32(Float32(sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(sinTheta_O * sinTheta_O))))
	tmp = Float32(0.0)
	if (t_0 <= Float32(0.0))
		tmp = asin(Float32(h / eta));
	else
		tmp = asin(Float32(h / sqrt(fma(eta, eta, Float32(-t_0)))));
	end
	return tmp
end

Error

Bits error versus sinTheta_O

Bits error versus h

Bits error versus eta

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f32 (*.f32 sinTheta_O sinTheta_O) (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 sinTheta_O sinTheta_O)))) < 0.0

   1. Initial program 4.4

      \[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta_O \cdot sinTheta_O}{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}\right) \]

   2. Taylor expanded in eta around inf 0.5

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\color{blue}{eta}}\right) \]

   if 0.0 < (/.f32 (*.f32 sinTheta_O sinTheta_O) (sqrt.f32 (-.f32 1 (*.f32 sinTheta_O sinTheta_O))))

   1. Initial program 0.2

      \[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta_O \cdot sinTheta_O}{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}\right) \]

   2. Applied egg-rr 0.2

      \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(eta, eta, -\frac{sinTheta_O \cdot sinTheta_O}{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}\right)}}}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 0.4

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{sinTheta_O \cdot sinTheta_O}{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}} \leq 0:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\frac{h}{eta}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(eta, eta, -\frac{sinTheta_O \cdot sinTheta_O}{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}\right)}}\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022140 
(FPCore (sinTheta_O h eta)
  :name "HairBSDF, gamma for a refracted ray"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (<= -1.0 sinTheta_O) (<= sinTheta_O 1.0)) (and (<= -1.0 h) (<= h 1.0))) (and (<= 0.0 eta) (<= eta 10.0)))
  (asin (/ h (sqrt (- (* eta eta) (/ (* sinTheta_O sinTheta_O) (sqrt (- 1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O)))))))))