Average Error: 1.0 → 0.0
Time: 7.7s
Precision: binary64
\[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\right)\right)\\ 2 \cdot \left(\sqrt[3]{{t_0}^{2}} \cdot \sqrt[3]{t_0}\right) \end{array} \]
(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))
↓
(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (cos
          (fma
           0.6666666666666666
           PI
           (* 0.3333333333333333 (acos (- (/ g h))))))))
   (* 2.0 (* (cbrt (pow t_0 2.0)) (cbrt t_0)))))
double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}
↓
double code(double g, double h) {
	double t_0 = cos(fma(0.6666666666666666, ((double) M_PI), (0.3333333333333333 * acos(-(g / h)))));
	return 2.0 * (cbrt(pow(t_0, 2.0)) * cbrt(t_0));
}

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end
↓
function code(g, h)
	t_0 = cos(fma(0.6666666666666666, pi, Float64(0.3333333333333333 * acos(Float64(-Float64(g / h))))))
	return Float64(2.0 * Float64(cbrt((t_0 ^ 2.0)) * cbrt(t_0)))
end

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]
↓
code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(0.6666666666666666 * Pi + N[(0.3333333333333333 * N[ArcCos[(-N[(g / h), $MachinePrecision])], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(2.0 * N[(N[Power[N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] * N[Power[t$95$0, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)
↓
\begin{array}{l}
t_0 := \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\right)\right)\\
2 \cdot \left(\sqrt[3]{{t_0}^{2}} \cdot \sqrt[3]{t_0}\right)
\end{array}

Error

Bits error versus g

Bits error versus h

Derivation

  1. Initial program 1.0

    \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

  2. Simplified1.0

    \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

  3. Applied log1p-expm1-u_binary641.0

    \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)\right)\right)} \]

  4. Applied add-cube-cbrt_binary641.0

    \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}}\right)\right) \]

  5. Simplified1.0

    \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right)} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}\right)\right) \]

  6. Simplified1.0

    \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\left(\sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right) \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)\right) \]

  7. Applied add-cube-cbrt_binary641.0

    \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\left(\sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\left(\sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\left(\sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right)\right)}\right)} \]

  8. Simplified0.1

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt[3]{{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{2}}} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\left(\sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right)\right)}\right) \]

  9. Simplified0.0

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\sqrt[3]{{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{2}} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\right)\right)}}\right) \]

  10. Final simplification0.0

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\sqrt[3]{{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\right)\right)}^{2}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\right)\right)}\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022137 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))