math.sin on complex, imaginary part

Average Error: 57.9 → 0.8

Time: 10.7s

Precision: binary64

Math

\[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]

↓

\[\cos re \cdot \left(-\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, {im}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {im}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {im}^{7}, im\right)\right)\right)\right) \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (*
  (cos re)
  (-
   (fma
    0.008333333333333333
    (pow im 5.0)
    (fma
     0.16666666666666666
     (pow im 3.0)
     (fma 0.0001984126984126984 (pow im 7.0) im))))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
}

↓

double code(double re, double im) {
	return cos(re) * -fma(0.008333333333333333, pow(im, 5.0), fma(0.16666666666666666, pow(im, 3.0), fma(0.0001984126984126984, pow(im, 7.0), im)));
}

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) - exp(im)))
end

↓

function code(re, im)
	return Float64(cos(re) * Float64(-fma(0.008333333333333333, (im ^ 5.0), fma(0.16666666666666666, (im ^ 3.0), fma(0.0001984126984126984, (im ^ 7.0), im)))))
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[re_, im_] := N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * (-N[(0.008333333333333333 * N[Power[im, 5.0], $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision] + N[(0.0001984126984126984 * N[Power[im, 7.0], $MachinePrecision] + im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision])), $MachinePrecision]

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	57.9
Target	0.3
Herbie	0.8

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\cos re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Initial program 57.9

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]

2. Simplified 57.9

   \[\leadsto \color{blue}{\cos re \cdot \mathsf{fma}\left(e^{im}, -0.5, \frac{0.5}{e^{im}}\right)} \]

3. Taylor expanded in im around 0 0.8

   \[\leadsto \cos re \cdot \color{blue}{\left(-\left(0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} + \left(0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + \left(0.0001984126984126984 \cdot {im}^{7} + im\right)\right)\right)\right)} \]

4. Simplified 0.8

   \[\leadsto \cos re \cdot \color{blue}{\left(-\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, {im}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {im}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {im}^{7}, im\right)\right)\right)\right)} \]

5. Final simplification 0.8

   \[\leadsto \cos re \cdot \left(-\mathsf{fma}\left(0.008333333333333333, {im}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {im}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.0001984126984126984, {im}^{7}, im\right)\right)\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022137 
(FPCore (re im)
  :name "math.sin on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (cos re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))