Average Error: 17.3 → 0.3
Time: 9.5s
Precision: binary64
\[\left(J \cdot \left(e^{\ell} - e^{-\ell}\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{K}{2}\right) + U \]
↓
\[\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666 \cdot \left({\ell}^{5} \cdot J\right) + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(J \cdot {\ell}^{3}\right) + \left(0.0003968253968253968 \cdot \left(J \cdot {\ell}^{7}\right) + 2 \cdot \left(\ell \cdot J\right)\right)\right), \cos \left(\frac{K}{2}\right), U\right) \]
(FPCore (J l K U)
 :precision binary64
 (+ (* (* J (- (exp l) (exp (- l)))) (cos (/ K 2.0))) U))
↓
(FPCore (J l K U)
 :precision binary64
 (fma
  (+
   (* 0.016666666666666666 (* (pow l 5.0) J))
   (+
    (* 0.3333333333333333 (* J (pow l 3.0)))
    (+ (* 0.0003968253968253968 (* J (pow l 7.0))) (* 2.0 (* l J)))))
  (cos (/ K 2.0))
  U))
double code(double J, double l, double K, double U) {
	return ((J * (exp(l) - exp(-l))) * cos((K / 2.0))) + U;
}
↓
double code(double J, double l, double K, double U) {
	return fma(((0.016666666666666666 * (pow(l, 5.0) * J)) + ((0.3333333333333333 * (J * pow(l, 3.0))) + ((0.0003968253968253968 * (J * pow(l, 7.0))) + (2.0 * (l * J))))), cos((K / 2.0)), U);
}

function code(J, l, K, U)
	return Float64(Float64(Float64(J * Float64(exp(l) - exp(Float64(-l)))) * cos(Float64(K / 2.0))) + U)
end
↓
function code(J, l, K, U)
	return fma(Float64(Float64(0.016666666666666666 * Float64((l ^ 5.0) * J)) + Float64(Float64(0.3333333333333333 * Float64(J * (l ^ 3.0))) + Float64(Float64(0.0003968253968253968 * Float64(J * (l ^ 7.0))) + Float64(2.0 * Float64(l * J))))), cos(Float64(K / 2.0)), U)
end

code[J_, l_, K_, U_] := N[(N[(N[(J * N[(N[Exp[l], $MachinePrecision] - N[Exp[(-l)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(K / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + U), $MachinePrecision]
↓
code[J_, l_, K_, U_] := N[(N[(N[(0.016666666666666666 * N[(N[Power[l, 5.0], $MachinePrecision] * J), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.3333333333333333 * N[(J * N[Power[l, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.0003968253968253968 * N[(J * N[Power[l, 7.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(2.0 * N[(l * J), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(K / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + U), $MachinePrecision]

\left(J \cdot \left(e^{\ell} - e^{-\ell}\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{K}{2}\right) + U
↓
\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666 \cdot \left({\ell}^{5} \cdot J\right) + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(J \cdot {\ell}^{3}\right) + \left(0.0003968253968253968 \cdot \left(J \cdot {\ell}^{7}\right) + 2 \cdot \left(\ell \cdot J\right)\right)\right), \cos \left(\frac{K}{2}\right), U\right)

Error

Bits error versus J

Bits error versus l

Bits error versus K

Bits error versus U

Derivation

  1. Initial program 17.3

    \[\left(J \cdot \left(e^{\ell} - e^{-\ell}\right)\right) \cdot \cos \left(\frac{K}{2}\right) + U \]

  2. Simplified17.3

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(J \cdot \left(e^{\ell} - e^{-\ell}\right), \cos \left(\frac{K}{2}\right), U\right)} \]

  3. Taylor expanded in l around 0 0.3

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{0.016666666666666666 \cdot \left({\ell}^{5} \cdot J\right) + \left(0.3333333333333333 \cdot \left({\ell}^{3} \cdot J\right) + \left(0.0003968253968253968 \cdot \left({\ell}^{7} \cdot J\right) + 2 \cdot \left(\ell \cdot J\right)\right)\right)}, \cos \left(\frac{K}{2}\right), U\right) \]

  4. Final simplification0.3

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.016666666666666666 \cdot \left({\ell}^{5} \cdot J\right) + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(J \cdot {\ell}^{3}\right) + \left(0.0003968253968253968 \cdot \left(J \cdot {\ell}^{7}\right) + 2 \cdot \left(\ell \cdot J\right)\right)\right), \cos \left(\frac{K}{2}\right), U\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022134 
(FPCore (J l K U)
  :name "Maksimov and Kolovsky, Equation (4)"
  :precision binary64
  (+ (* (* J (- (exp l) (exp (- l)))) (cos (/ K 2.0))) U))