Average Error: 58.1 → 1.7
Time: 3.8s
Precision: binary64
\[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
↓
\[\frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(2, x, 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))
↓
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (fma
   0.016666666666666666
   (pow x 5.0)
   (fma 2.0 x (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0))))
  (+ (exp x) (exp (- x)))))
double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / (exp(x) + exp(-x));
}
↓
double code(double x) {
	return fma(0.016666666666666666, pow(x, 5.0), fma(2.0, x, (0.3333333333333333 * pow(x, 3.0)))) / (exp(x) + exp(-x));
}

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / Float64(exp(x) + exp(Float64(-x))))
end
↓
function code(x)
	return Float64(fma(0.016666666666666666, (x ^ 5.0), fma(2.0, x, Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)))) / Float64(exp(x) + exp(Float64(-x))))
end

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]
↓
code[x_] := N[(N[(0.016666666666666666 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision] + N[(2.0 * x + N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}
↓
\frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(2, x, 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}}

Error

Bits error versus x

Derivation

  1. Initial program 58.1

    \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

  2. Taylor expanded in x around 0 1.7

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

  3. Simplified1.7

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(2, x, 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

  4. Final simplification1.7

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(2, x, 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022133 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic tangent"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))