math.sin on complex, imaginary part

Average Error: 58.0 → 0.8

Time: 11.1s

Precision: binary64

Math

\[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]

↓

\[-\mathsf{fma}\left(\cos re, im, \cos re \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {im}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right)\right) \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (-
  (fma
   (cos re)
   im
   (*
    (cos re)
    (fma
     0.16666666666666666
     (pow im 3.0)
     (* 0.008333333333333333 (pow im 5.0)))))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * cos(re)) * (exp((0.0 - im)) - exp(im));
}

↓

double code(double re, double im) {
	return -fma(cos(re), im, (cos(re) * fma(0.16666666666666666, pow(im, 3.0), (0.008333333333333333 * pow(im, 5.0)))));
}

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * cos(re)) * Float64(exp(Float64(0.0 - im)) - exp(im)))
end

↓

function code(re, im)
	return Float64(-fma(cos(re), im, Float64(cos(re) * fma(0.16666666666666666, (im ^ 3.0), Float64(0.008333333333333333 * (im ^ 5.0))))))
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Cos[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[N[(0.0 - im), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[re_, im_] := (-N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * im + N[(N[Cos[re], $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 * N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision] + N[(0.008333333333333333 * N[Power[im, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision])

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	58.0
Target	0.2
Herbie	0.8

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\cos re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Initial program 58.0

   \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]

2. Taylor expanded in im around 0 0.8

   \[\leadsto \color{blue}{-\left(\cos re \cdot im + \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{3}\right) + 0.008333333333333333 \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{5}\right)\right)\right)} \]

3. Simplified 0.8

   \[\leadsto \color{blue}{-\mathsf{fma}\left(im, \cos re, \cos re \cdot \left({im}^{3} \cdot 0.16666666666666666 + {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right)\right)} \]

4. Applied egg-rr 2.1

   \[\leadsto -\color{blue}{\sqrt[3]{\cos re \cdot \left(im + \mathsf{fma}\left({im}^{3}, 0.16666666666666666, {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt[3]{\cos re \cdot \left(im + \mathsf{fma}\left({im}^{3}, 0.16666666666666666, {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right)\right)}\right)}^{2}} \]

5. Applied egg-rr 29.3

   \[\leadsto -\color{blue}{\frac{\left(im \cdot im - {\left(\mathsf{fma}\left({im}^{3}, 0.16666666666666666, {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right)\right)}^{2}\right) \cdot \cos re}{im - \mathsf{fma}\left({im}^{3}, 0.16666666666666666, {im}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right)}} \]

6. Taylor expanded in im around 0 0.8

   \[\leadsto -\color{blue}{\left(\cos re \cdot im + \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{3}\right) + 0.008333333333333333 \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{5}\right)\right)\right)} \]

7. Simplified 0.8

   \[\leadsto -\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos re, im, \cos re \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {im}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right)\right)} \]

8. Final simplification 0.8

   \[\leadsto -\mathsf{fma}\left(\cos re, im, \cos re \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {im}^{3}, 0.008333333333333333 \cdot {im}^{5}\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022133 
(FPCore (re im)
  :name "math.sin on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (cos re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))