ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Average Error: 30.4 → 0.3

Time: 13.7s

Precision: binary64

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

↓

\[x \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)\right) - \left(0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right) \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (-
  (* x (* (sqrt 0.16666666666666666) (* (sqrt 0.16666666666666666) x)))
  (+
   (* 0.06388888888888888 (pow x 4.0))
   (* 0.0007275132275132275 (pow x 6.0)))))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

↓

double code(double x) {
	return (x * (sqrt(0.16666666666666666) * (sqrt(0.16666666666666666) * x))) - ((0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + (0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

↓

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * (sqrt(0.16666666666666666d0) * (sqrt(0.16666666666666666d0) * x))) - ((0.06388888888888888d0 * (x ** 4.0d0)) + (0.0007275132275132275d0 * (x ** 6.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

↓

public static double code(double x) {
	return (x * (Math.sqrt(0.16666666666666666) * (Math.sqrt(0.16666666666666666) * x))) - ((0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)) + (0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0)));
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

↓

def code(x):
	return (x * (math.sqrt(0.16666666666666666) * (math.sqrt(0.16666666666666666) * x))) - ((0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)) + (0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

↓

function code(x)
	return Float64(Float64(x * Float64(sqrt(0.16666666666666666) * Float64(sqrt(0.16666666666666666) * x))) - Float64(Float64(0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + Float64(0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

↓

function tmp = code(x)
	tmp = (x * (sqrt(0.16666666666666666) * (sqrt(0.16666666666666666) * x))) - ((0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + (0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := N[(N[(x * N[(N[Sqrt[0.16666666666666666], $MachinePrecision] * N[(N[Sqrt[0.16666666666666666], $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[(0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Error

Bits error versus x

Target

Original	30.4
Target	0.8
Herbie	0.3

\[0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Derivation

1. Initial program 30.4

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 0.3

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} - \left(0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)} \]

3. Applied unpow2_binary64 0.3

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} - \left(0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right) \]

4. Applied associate-*r*_binary64 0.3

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} - \left(0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right) \]

5. Applied add-sqr-sqrt_binary64 0.3

   \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \cdot x\right) \cdot x - \left(0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right) \]

6. Applied associate-*l*_binary64 0.3

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)\right)} \cdot x - \left(0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right) \]

7. Final simplification 0.3

   \[\leadsto x \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)\right) - \left(0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022131 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :herbie-target
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))