Average Error: 1.0 → 0.0
Time: 6.9s
Precision: binary64
\[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\\ t_1 := \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{t_0}{3}\right)\right)\\ t_2 := \sqrt[3]{t_1 \cdot t_1}\\ 2 \cdot \sqrt[3]{t_1 \cdot \left(t_2 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, 2, t_0\right)\right) + 1}{2}} \cdot t_2\right)\right)} \end{array} \]
(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))
↓
(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (acos (- (/ g h))))
        (t_1 (cos (fma PI 0.6666666666666666 (/ t_0 3.0))))
        (t_2 (cbrt (* t_1 t_1))))
   (*
    2.0
    (cbrt
     (*
      t_1
      (*
       t_2
       (*
        (cbrt (/ (+ (cos (* 0.6666666666666666 (fma PI 2.0 t_0))) 1.0) 2.0))
        t_2)))))))
double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}
↓
double code(double g, double h) {
	double t_0 = acos(-(g / h));
	double t_1 = cos(fma(((double) M_PI), 0.6666666666666666, (t_0 / 3.0)));
	double t_2 = cbrt((t_1 * t_1));
	return 2.0 * cbrt((t_1 * (t_2 * (cbrt(((cos((0.6666666666666666 * fma(((double) M_PI), 2.0, t_0))) + 1.0) / 2.0)) * t_2))));
}

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end
↓
function code(g, h)
	t_0 = acos(Float64(-Float64(g / h)))
	t_1 = cos(fma(pi, 0.6666666666666666, Float64(t_0 / 3.0)))
	t_2 = cbrt(Float64(t_1 * t_1))
	return Float64(2.0 * cbrt(Float64(t_1 * Float64(t_2 * Float64(cbrt(Float64(Float64(cos(Float64(0.6666666666666666 * fma(pi, 2.0, t_0))) + 1.0) / 2.0)) * t_2)))))
end

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]
↓
code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[ArcCos[(-N[(g / h), $MachinePrecision])], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Cos[N[(Pi * 0.6666666666666666 + N[(t$95$0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[Power[N[(t$95$1 * t$95$1), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(2.0 * N[Power[N[(t$95$1 * N[(t$95$2 * N[(N[Power[N[(N[(N[Cos[N[(0.6666666666666666 * N[(Pi * 2.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] * t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)
↓
\begin{array}{l}
t_0 := \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\\
t_1 := \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{t_0}{3}\right)\right)\\
t_2 := \sqrt[3]{t_1 \cdot t_1}\\
2 \cdot \sqrt[3]{t_1 \cdot \left(t_2 \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, 2, t_0\right)\right) + 1}{2}} \cdot t_2\right)\right)}
\end{array}

Error

Bits error versus g

Bits error versus h

Derivation

  1. Initial program 1.0

    \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

  2. Simplified1.0

    \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

  3. Applied add-cbrt-cube_binary641.5

    \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}} \]

  4. Applied add-cube-cbrt_binary640.0

    \[\leadsto 2 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}\right)} \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

  5. Applied cos-mult_binary640.0

    \[\leadsto 2 \cdot \sqrt[3]{\left(\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) + \mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) + \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) - \mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}{2}}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

  6. Simplified0.0

    \[\leadsto 2 \cdot \sqrt[3]{\left(\left(\sqrt[3]{\frac{\color{blue}{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, 2, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\right)\right) + 1}}{2}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

  7. Final simplification0.0

    \[\leadsto 2 \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \mathsf{fma}\left(\pi, 2, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)\right)\right) + 1}{2}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)}\right)\right)} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022131 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))