Average Error: 43.1 → 0.9
Time: 11.3s
Precision: binary64
\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
↓
\[\sin re \cdot \left(-\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {im}^{3}, im\right)\right) \]
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (sin re) (- (fma 0.16666666666666666 (pow im 3.0) im))))
double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}
↓
double code(double re, double im) {
	return sin(re) * -fma(0.16666666666666666, pow(im, 3.0), im);
}

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end
↓
function code(re, im)
	return Float64(sin(re) * Float64(-fma(0.16666666666666666, (im ^ 3.0), im)))
end

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]
↓
code[re_, im_] := N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * (-N[(0.16666666666666666 * N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision] + im), $MachinePrecision])), $MachinePrecision]

\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)
↓
\sin re \cdot \left(-\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {im}^{3}, im\right)\right)

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original43.1
Target0.3
Herbie0.9
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

  1. Initial program 43.1

    \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

  2. Taylor expanded in im around 0 0.9

    \[\leadsto \color{blue}{-\left(\sin re \cdot im + 0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right)\right)} \]

  3. Simplified0.9

    \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(\left(-im\right) - {im}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

  4. Applied add-cube-cbrt_binary641.8

    \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\left(-im\right) - {im}^{3} \cdot 0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{\left(-im\right) - {im}^{3} \cdot 0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(-im\right) - {im}^{3} \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

  5. Applied associate-*r*_binary641.8

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot \left(\sqrt[3]{\left(-im\right) - {im}^{3} \cdot 0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{\left(-im\right) - {im}^{3} \cdot 0.16666666666666666}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{\left(-im\right) - {im}^{3} \cdot 0.16666666666666666}} \]

  6. Simplified1.8

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot \left(\sqrt[3]{-\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {im}^{3}, im\right)} \cdot \sqrt[3]{-\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {im}^{3}, im\right)}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\left(-im\right) - {im}^{3} \cdot 0.16666666666666666} \]

  7. Applied associate-*l*_binary641.8

    \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(\left(\sqrt[3]{-\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {im}^{3}, im\right)} \cdot \sqrt[3]{-\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {im}^{3}, im\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(-im\right) - {im}^{3} \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

  8. Simplified0.9

    \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(-\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {im}^{3}, im\right)\right)} \]

  9. Final simplification0.9

    \[\leadsto \sin re \cdot \left(-\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {im}^{3}, im\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022131 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))