Average Error: 20.1 → 0.2
Time: 6.6s
Precision: binary64
\[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}}\\ t_1 := \mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291889 + \frac{0.07512208616047561}{z}, x\right)\\ \mathbf{if}\;z \leq -4050971209818.576:\\ \;\;\;\;t_1\\ \mathbf{elif}\;z \leq 2088895762.117249:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, t_0 \cdot t_0, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_1\\ \end{array} \]
(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (+
  x
  (/
   (*
    y
    (+
     (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z)
     0.279195317918525))
   (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))
↓
(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (sqrt
          (/
           (fma
            z
            (fma z 0.0692910599291889 0.4917317610505968)
            0.279195317918525)
           (fma z (+ z 6.012459259764103) 3.350343815022304))))
        (t_1 (fma y (+ 0.0692910599291889 (/ 0.07512208616047561 z)) x)))
   (if (<= z -4050971209818.576)
     t_1
     (if (<= z 2088895762.117249) (fma y (* t_0 t_0) x) t_1))))
double code(double x, double y, double z) {
	return x + ((y * ((((z * 0.0692910599291889) + 0.4917317610505968) * z) + 0.279195317918525)) / (((z + 6.012459259764103) * z) + 3.350343815022304));
}
↓
double code(double x, double y, double z) {
	double t_0 = sqrt((fma(z, fma(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968), 0.279195317918525) / fma(z, (z + 6.012459259764103), 3.350343815022304)));
	double t_1 = fma(y, (0.0692910599291889 + (0.07512208616047561 / z)), x);
	double tmp;
	if (z <= -4050971209818.576) {
		tmp = t_1;
	} else if (z <= 2088895762.117249) {
		tmp = fma(y, (t_0 * t_0), x);
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

function code(x, y, z)
	return Float64(x + Float64(Float64(y * Float64(Float64(Float64(Float64(z * 0.0692910599291889) + 0.4917317610505968) * z) + 0.279195317918525)) / Float64(Float64(Float64(z + 6.012459259764103) * z) + 3.350343815022304)))
end
↓
function code(x, y, z)
	t_0 = sqrt(Float64(fma(z, fma(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968), 0.279195317918525) / fma(z, Float64(z + 6.012459259764103), 3.350343815022304)))
	t_1 = fma(y, Float64(0.0692910599291889 + Float64(0.07512208616047561 / z)), x)
	tmp = 0.0
	if (z <= -4050971209818.576)
		tmp = t_1;
	elseif (z <= 2088895762.117249)
		tmp = fma(y, Float64(t_0 * t_0), x);
	else
		tmp = t_1;
	end
	return tmp
end

code[x_, y_, z_] := N[(x + N[(N[(y * N[(N[(N[(N[(z * 0.0692910599291889), $MachinePrecision] + 0.4917317610505968), $MachinePrecision] * z), $MachinePrecision] + 0.279195317918525), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(N[(z + 6.012459259764103), $MachinePrecision] * z), $MachinePrecision] + 3.350343815022304), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]
↓
code[x_, y_, z_] := Block[{t$95$0 = N[Sqrt[N[(N[(z * N[(z * 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968), $MachinePrecision] + 0.279195317918525), $MachinePrecision] / N[(z * N[(z + 6.012459259764103), $MachinePrecision] + 3.350343815022304), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(y * N[(0.0692910599291889 + N[(0.07512208616047561 / z), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[z, -4050971209818.576], t$95$1, If[LessEqual[z, 2088895762.117249], N[(y * N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] + x), $MachinePrecision], t$95$1]]]]

x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304}
↓
\begin{array}{l}
t_0 := \sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}}\\
t_1 := \mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291889 + \frac{0.07512208616047561}{z}, x\right)\\
\mathbf{if}\;z \leq -4050971209818.576:\\
\;\;\;\;t_1\\

\mathbf{elif}\;z \leq 2088895762.117249:\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, t_0 \cdot t_0, x\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;t_1\\


\end{array}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original20.1
Target0.4
Herbie0.2
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z < -8120153.652456675:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291889\right) \cdot y - \left(\frac{0.40462203869992125 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \mathbf{elif}\;z < 6.576118972787377 \cdot 10^{+20}:\\ \;\;\;\;x + \left(y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291889\right) \cdot y - \left(\frac{0.40462203869992125 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \end{array} \]

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if z < -4050971209818.5762 or 2088895762.117249 < z

    1. Initial program 41.8

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

    2. Simplified33.2

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)} \]

    3. Taylor expanded in z around inf 0.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{0.0692910599291889 + 0.07512208616047561 \cdot \frac{1}{z}}, x\right) \]

    4. Simplified0.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{0.0692910599291889 + \frac{0.07512208616047561}{z}}, x\right) \]

    if -4050971209818.5762 < z < 2088895762.117249

    1. Initial program 0.2

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

    2. Simplified0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)} \]

    3. Applied add-sqr-sqrt_binary640.1

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}} \cdot \sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}}}, x\right) \]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification0.2

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq -4050971209818.576:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291889 + \frac{0.07512208616047561}{z}, x\right)\\ \mathbf{elif}\;z \leq 2088895762.117249:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}} \cdot \sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}}, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291889 + \frac{0.07512208616047561}{z}, x\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022131 
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< z -8120153.652456675) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x)) (if (< z 6.576118972787377e+20) (+ x (* (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (/ 1.0 (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304)))) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x))))

  (+ x (/ (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))