Average Error: 43.1 → 0.9
Time: 9.1s
Precision: binary64
\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
↓
\[-\sin re \cdot \mathsf{fma}\left({im}^{3}, 0.16666666666666666, im\right) \]
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (- (* (sin re) (fma (pow im 3.0) 0.16666666666666666 im))))
double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}
↓
double code(double re, double im) {
	return -(sin(re) * fma(pow(im, 3.0), 0.16666666666666666, im));
}

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end
↓
function code(re, im)
	return Float64(-Float64(sin(re) * fma((im ^ 3.0), 0.16666666666666666, im)))
end

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]
↓
code[re_, im_] := (-N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666 + im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision])

\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)
↓
-\sin re \cdot \mathsf{fma}\left({im}^{3}, 0.16666666666666666, im\right)

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original43.1
Target0.3
Herbie0.9
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

  1. Initial program 43.1

    \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

  2. Taylor expanded in im around 0 0.9

    \[\leadsto \color{blue}{-\left(\sin re \cdot im + 0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right)\right)} \]

  3. Simplified0.9

    \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot \left(im + {im}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

  4. Applied egg-rr1.0

    \[\leadsto -\color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left({im}^{3}, 0.16666666666666666, im\right)}{\frac{1}{\sin re}}} \]

  5. Applied egg-rr0.9

    \[\leadsto -\color{blue}{\sin re \cdot \mathsf{fma}\left({im}^{3}, 0.16666666666666666, im\right)} \]

  6. Final simplification0.9

    \[\leadsto -\sin re \cdot \mathsf{fma}\left({im}^{3}, 0.16666666666666666, im\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022131 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))