Curve intersection, scale width based on ribbon orientation

Average Error: 0.9 → 0.3

Time: 16.7s

Precision: binary32

\[\left(\left(\left(0 \leq normAngle \land normAngle \leq \frac{\pi}{2}\right) \land \left(-1 \leq n0_i \land n0_i \leq 1\right)\right) \land \left(-1 \leq n1_i \land n1_i \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u \land u \leq 1\right)\]

Math

\[\left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1_i \]

↓

\[u \cdot \left(\left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot n1_i + n0_i \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \mathsf{fma}\left(u, n1_i - n0_i, n0_i\right) \]

FPCore

(FPCore (normAngle u n0_i n1_i)
 :precision binary32
 (+
  (* (* (sin (* (- 1.0 u) normAngle)) (/ 1.0 (sin normAngle))) n0_i)
  (* (* (sin (* u normAngle)) (/ 1.0 (sin normAngle))) n1_i)))

↓

(FPCore (normAngle u n0_i n1_i)
 :precision binary32
 (+
  (*
   u
   (*
    (* normAngle normAngle)
    (+ (* 0.16666666666666666 n1_i) (* n0_i 0.3333333333333333))))
  (fma u (- n1_i n0_i) n0_i)))

C

float code(float normAngle, float u, float n0_i, float n1_i) {
	return ((sinf(((1.0f - u) * normAngle)) * (1.0f / sinf(normAngle))) * n0_i) + ((sinf((u * normAngle)) * (1.0f / sinf(normAngle))) * n1_i);
}

↓

float code(float normAngle, float u, float n0_i, float n1_i) {
	return (u * ((normAngle * normAngle) * ((0.16666666666666666f * n1_i) + (n0_i * 0.3333333333333333f)))) + fmaf(u, (n1_i - n0_i), n0_i);
}

Error

Bits error versus normAngle

Bits error versus u

Bits error versus n0_i

Bits error versus n1_i

Derivation

1. Initial program 0.9

   \[\left(\sin \left(\left(1 - u\right) \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n0_i + \left(\sin \left(u \cdot normAngle\right) \cdot \frac{1}{\sin normAngle}\right) \cdot n1_i \]

2. Taylor expanded in normAngle around 0 0.3

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot \left(u \cdot \left(n0_i \cdot {normAngle}^{2}\right)\right) + \left(n1_i \cdot u + \left(0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot \left(u \cdot {normAngle}^{2}\right)\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \left({u}^{3} \cdot \left(n0_i \cdot {normAngle}^{2}\right)\right) + n0_i\right)\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 \cdot \left(n0_i \cdot \left(u \cdot {normAngle}^{2}\right)\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot \left({u}^{3} \cdot {normAngle}^{2}\right)\right) + \left(0.5 \cdot \left({u}^{2} \cdot \left(n0_i \cdot {normAngle}^{2}\right)\right) + u \cdot n0_i\right)\right)\right)} \]

3. Simplified 0.3

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5, u \cdot \left(\left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot n0_i\right), \mathsf{fma}\left(u, n1_i, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(u \cdot n1_i\right), \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {u}^{3} \cdot \left(\left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot n0_i\right), n0_i\right)\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, u \cdot \left(\left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot n0_i\right), \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \left({u}^{3} \cdot \left(normAngle \cdot normAngle\right)\right) \cdot n1_i, \mathsf{fma}\left(u, n0_i, 0.5 \cdot \left(\left(u \cdot u\right) \cdot \left(\left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot n0_i\right)\right)\right)\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in u around 0 0.4

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(n1_i \cdot \left(u \cdot {normAngle}^{2}\right)\right) + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(u \cdot \left(n0_i \cdot {normAngle}^{2}\right)\right) + \left(n1_i \cdot u + n0_i\right)\right)\right) - u \cdot n0_i} \]

5. Simplified 0.3

   \[\leadsto \color{blue}{u \cdot \left(\left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot n1_i + n0_i \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(n0_i + u \cdot \left(n1_i - n0_i\right)\right)} \]

6. Taylor expanded in n0_i around 0 0.4

   \[\leadsto u \cdot \left(\left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot n1_i + n0_i \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(n1_i \cdot u + n0_i\right) - n0_i \cdot u\right)} \]

7. Simplified 0.3

   \[\leadsto u \cdot \left(\left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot n1_i + n0_i \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(u, n1_i - n0_i, n0_i\right)} \]

8. Final simplification 0.3

   \[\leadsto u \cdot \left(\left(normAngle \cdot normAngle\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot n1_i + n0_i \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \mathsf{fma}\left(u, n1_i - n0_i, n0_i\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022130 
(FPCore (normAngle u n0_i n1_i)
  :name "Curve intersection, scale width based on ribbon orientation"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (<= 0.0 normAngle) (<= normAngle (/ PI 2.0))) (and (<= -1.0 n0_i) (<= n0_i 1.0))) (and (<= -1.0 n1_i) (<= n1_i 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 u) (<= u 1.0)))
  (+ (* (* (sin (* (- 1.0 u) normAngle)) (/ 1.0 (sin normAngle))) n0_i) (* (* (sin (* u normAngle)) (/ 1.0 (sin normAngle))) n1_i)))