\[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

↓

\[\frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(2, x, 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}

↓

\frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(2, x, 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}}

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (fma
   0.016666666666666666
   (pow x 5.0)
   (fma
    0.0003968253968253968
    (pow x 7.0)
    (fma 2.0 x (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0)))))
  (+ (exp x) (exp (- x)))))

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / (exp(x) + exp(-x));
}

↓

double code(double x) {
	return fma(0.016666666666666666, pow(x, 5.0), fma(0.0003968253968253968, pow(x, 7.0), fma(2.0, x, (0.3333333333333333 * pow(x, 3.0))))) / (exp(x) + exp(-x));
}

Derivation

Initial program 58.0
\[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
Taylor expanded in x around 0 1.9
\[\leadsto \frac{\color{blue}{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]
Simplified1.9
\[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(2, x, 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]
Final simplification1.9
\[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(2, x, 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022130 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic tangent"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))

Error

Derivation

Reproduce