Data.Colour.Matrix:determinant from colour-2.3.3, A

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Precision: binary64

Math

\[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right) \]

↓

\[\begin{array}{l} t_1 := \left(i \cdot \left(t \cdot b\right) + \left(c \cdot \left(a \cdot j\right) + y \cdot \left(x \cdot z\right)\right)\right) - \left(y \cdot \left(i \cdot j\right) + \left(c \cdot \left(z \cdot b\right) + a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)\right)\\ t_2 := y \cdot z - t \cdot a\\ t_3 := \left(x \cdot t_2 - b \cdot \left(z \cdot c - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right)\\ \mathbf{if}\;t_3 \leq -6.559190866199206 \cdot 10^{+305}:\\ \;\;\;\;t_1\\ \mathbf{elif}\;t_3 \leq 1.682824506189002 \cdot 10^{+300}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(b, t \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, t_2, j \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-1, y \cdot i, y \cdot i\right) + \mathsf{fma}\left(c, a, -y \cdot i\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_1\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t a b c i j)
 :precision binary64
 (+
  (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* t i))))
  (* j (- (* c a) (* y i)))))

↓

(FPCore (x y z t a b c i j)
 :precision binary64
 (let* ((t_1
         (-
          (+ (* i (* t b)) (+ (* c (* a j)) (* y (* x z))))
          (+ (* y (* i j)) (+ (* c (* z b)) (* a (* x t))))))
        (t_2 (- (* y z) (* t a)))
        (t_3
         (+
          (- (* x t_2) (* b (- (* z c) (* t i))))
          (* j (- (* a c) (* y i))))))
   (if (<= t_3 -6.559190866199206e+305)
     t_1
     (if (<= t_3 1.682824506189002e+300)
       (fma
        b
        (- (* t i) (* z c))
        (fma x t_2 (* j (+ (fma -1.0 (* y i) (* y i)) (fma c a (- (* y i)))))))
       t_1))))

C

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j) {
	return ((x * ((y * z) - (t * a))) - (b * ((c * z) - (t * i)))) + (j * ((c * a) - (y * i)));
}

↓

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j) {
	double t_1 = ((i * (t * b)) + ((c * (a * j)) + (y * (x * z)))) - ((y * (i * j)) + ((c * (z * b)) + (a * (x * t))));
	double t_2 = (y * z) - (t * a);
	double t_3 = ((x * t_2) - (b * ((z * c) - (t * i)))) + (j * ((a * c) - (y * i)));
	double tmp;
	if (t_3 <= -6.559190866199206e+305) {
		tmp = t_1;
	} else if (t_3 <= 1.682824506189002e+300) {
		tmp = fma(b, ((t * i) - (z * c)), fma(x, t_2, (j * (fma(-1.0, (y * i), (y * i)) + fma(c, a, -(y * i))))));
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus i

Bits error versus j

Target

Original	12.2
Target	19.8
Herbie	2.9

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x < -1.469694296777705 \cdot 10^{-64}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \frac{b \cdot \left({\left(c \cdot z\right)}^{2} - {\left(t \cdot i\right)}^{2}\right)}{c \cdot z + t \cdot i}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \mathbf{elif}\;x < 3.2113527362226803 \cdot 10^{-147}:\\ \;\;\;\;\left(b \cdot i - x \cdot a\right) \cdot t - \left(z \cdot \left(c \cdot b\right) - j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \frac{b \cdot \left({\left(c \cdot z\right)}^{2} - {\left(t \cdot i\right)}^{2}\right)}{c \cdot z + t \cdot i}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (+.f64 (-.f64 (*.f64 x (-.f64 (*.f64 y z) (*.f64 t a))) (*.f64 b (-.f64 (*.f64 c z) (*.f64 t i)))) (*.f64 j (-.f64 (*.f64 c a) (*.f64 y i)))) < -6.5591908661992063e305 or 1.6828245061890021e300 < (+.f64 (-.f64 (*.f64 x (-.f64 (*.f64 y z) (*.f64 t a))) (*.f64 b (-.f64 (*.f64 c z) (*.f64 t i)))) (*.f64 j (-.f64 (*.f64 c a) (*.f64 y i))))

   1. Initial program 59.1

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right) \]

   2. Simplified 59.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(b, t \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right)\right)\right)} \]

   3. Taylor expanded in b around 0 11.4

      \[\leadsto \color{blue}{\left(i \cdot \left(t \cdot b\right) + \left(c \cdot \left(a \cdot j\right) + y \cdot \left(z \cdot x\right)\right)\right) - \left(y \cdot \left(i \cdot j\right) + \left(c \cdot \left(z \cdot b\right) + a \cdot \left(t \cdot x\right)\right)\right)} \]

   if -6.5591908661992063e305 < (+.f64 (-.f64 (*.f64 x (-.f64 (*.f64 y z) (*.f64 t a))) (*.f64 b (-.f64 (*.f64 c z) (*.f64 t i)))) (*.f64 j (-.f64 (*.f64 c a) (*.f64 y i)))) < 1.6828245061890021e300

   1. Initial program 0.9

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right) \]

   2. Simplified 0.9

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(b, t \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right)\right)\right)} \]

   3. Applied egg-rr 1.1

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(b, t \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, j \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(c, a, -\sqrt[3]{i \cdot y} \cdot {\left(\sqrt[3]{i \cdot y}\right)}^{2}\right) + \mathsf{fma}\left(-\sqrt[3]{i \cdot y}, {\left(\sqrt[3]{i \cdot y}\right)}^{2}, \sqrt[3]{i \cdot y} \cdot {\left(\sqrt[3]{i \cdot y}\right)}^{2}\right)\right)}\right)\right) \]

   4. Applied egg-rr 0.9

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(b, t \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, \color{blue}{{\left(j \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-1, i \cdot y, i \cdot y\right) + \mathsf{fma}\left(c, a, -i \cdot y\right)\right)\right)}^{1}}\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 2.9

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(z \cdot c - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right) \leq -6.559190866199206 \cdot 10^{+305}:\\ \;\;\;\;\left(i \cdot \left(t \cdot b\right) + \left(c \cdot \left(a \cdot j\right) + y \cdot \left(x \cdot z\right)\right)\right) - \left(y \cdot \left(i \cdot j\right) + \left(c \cdot \left(z \cdot b\right) + a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(z \cdot c - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right) \leq 1.682824506189002 \cdot 10^{+300}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(b, t \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, j \cdot \left(\mathsf{fma}\left(-1, y \cdot i, y \cdot i\right) + \mathsf{fma}\left(c, a, -y \cdot i\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(i \cdot \left(t \cdot b\right) + \left(c \cdot \left(a \cdot j\right) + y \cdot \left(x \cdot z\right)\right)\right) - \left(y \cdot \left(i \cdot j\right) + \left(c \cdot \left(z \cdot b\right) + a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022130 
(FPCore (x y z t a b c i j)
  :name "Data.Colour.Matrix:determinant from colour-2.3.3, A"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< x -1.469694296777705e-64) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (/ (* b (- (pow (* c z) 2.0) (pow (* t i) 2.0))) (+ (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i)))) (if (< x 3.2113527362226803e-147) (- (* (- (* b i) (* x a)) t) (- (* z (* c b)) (* j (- (* c a) (* y i))))) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (/ (* b (- (pow (* c z) 2.0) (pow (* t i) 2.0))) (+ (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i))))))

  (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i)))))