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Precision: binary64
\[[x, y] = \mathsf{sort}([x, y]) \[t, a] = \mathsf{sort}([t, a]) \\]
\[\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} \]
↓
\[\begin{array}{l} t_1 := \frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c}\\ t_2 := \frac{b}{z \cdot c} + 9 \cdot \left(x \cdot \frac{y}{z \cdot c}\right)\\ \mathbf{if}\;t_1 \leq -2.506799129751473 \cdot 10^{+296}:\\ \;\;\;\;t_2 - 4 \cdot \left(t \cdot \frac{a}{c}\right)\\ \mathbf{elif}\;t_1 \leq -2.7059960238915596 \cdot 10^{-120}:\\ \;\;\;\;t_1\\ \mathbf{elif}\;t_1 \leq 2.0827540131780558 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(t, a \cdot -4, \frac{b + x \cdot \left(9 \cdot y\right)}{z}\right)}{c}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_2 - 4 \cdot \frac{a}{\frac{c}{t}}\\ \end{array} \]
\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c}
↓
\begin{array}{l}
t_1 := \frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c}\\
t_2 := \frac{b}{z \cdot c} + 9 \cdot \left(x \cdot \frac{y}{z \cdot c}\right)\\
\mathbf{if}\;t_1 \leq -2.506799129751473 \cdot 10^{+296}:\\
\;\;\;\;t_2 - 4 \cdot \left(t \cdot \frac{a}{c}\right)\\

\mathbf{elif}\;t_1 \leq -2.7059960238915596 \cdot 10^{-120}:\\
\;\;\;\;t_1\\

\mathbf{elif}\;t_1 \leq 2.0827540131780558 \cdot 10^{+51}:\\
\;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(t, a \cdot -4, \frac{b + x \cdot \left(9 \cdot y\right)}{z}\right)}{c}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;t_2 - 4 \cdot \frac{a}{\frac{c}{t}}\\


\end{array}

(FPCore (x y z t a b c)
 :precision binary64
 (/ (+ (- (* (* x 9.0) y) (* (* (* z 4.0) t) a)) b) (* z c)))
↓
(FPCore (x y z t a b c)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (/ (+ (- (* (* x 9.0) y) (* (* (* z 4.0) t) a)) b) (* z c)))
        (t_2 (+ (/ b (* z c)) (* 9.0 (* x (/ y (* z c)))))))
   (if (<= t_1 -2.506799129751473e+296)
     (- t_2 (* 4.0 (* t (/ a c))))
     (if (<= t_1 -2.7059960238915596e-120)
       t_1
       (if (<= t_1 2.0827540131780558e+51)
         (/ (fma t (* a -4.0) (/ (+ b (* x (* 9.0 y))) z)) c)
         (- t_2 (* 4.0 (/ a (/ c t)))))))))
double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c) {
	return ((((x * 9.0) * y) - (((z * 4.0) * t) * a)) + b) / (z * c);
}
↓
double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c) {
	double t_1 = ((((x * 9.0) * y) - (((z * 4.0) * t) * a)) + b) / (z * c);
	double t_2 = (b / (z * c)) + (9.0 * (x * (y / (z * c))));
	double tmp;
	if (t_1 <= -2.506799129751473e+296) {
		tmp = t_2 - (4.0 * (t * (a / c)));
	} else if (t_1 <= -2.7059960238915596e-120) {
		tmp = t_1;
	} else if (t_1 <= 2.0827540131780558e+51) {
		tmp = fma(t, (a * -4.0), ((b + (x * (9.0 * y))) / z)) / c;
	} else {
		tmp = t_2 - (4.0 * (a / (c / t)));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Target

Original21.2
Target14.8
Herbie4.9
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} < -1.100156740804105 \cdot 10^{-171}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(z \cdot 4\right) \cdot \left(t \cdot a\right)\right) + b}{z \cdot c}\\ \mathbf{elif}\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} < 0:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z}}{c}\\ \mathbf{elif}\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} < 1.1708877911747488 \cdot 10^{-53}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(z \cdot 4\right) \cdot \left(t \cdot a\right)\right) + b}{z \cdot c}\\ \mathbf{elif}\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} < 2.876823679546137 \cdot 10^{+130}:\\ \;\;\;\;\left(\left(9 \cdot \frac{y}{c}\right) \cdot \frac{x}{z} + \frac{b}{c \cdot z}\right) - 4 \cdot \frac{a \cdot t}{c}\\ \mathbf{elif}\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} < 1.3838515042456319 \cdot 10^{+158}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(z \cdot 4\right) \cdot \left(t \cdot a\right)\right) + b}{z \cdot c}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(9 \cdot \left(\frac{y}{c \cdot z} \cdot x\right) + \frac{b}{c \cdot z}\right) - 4 \cdot \frac{a \cdot t}{c}\\ \end{array} \]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if (/.f64 (+.f64 (-.f64 (*.f64 (*.f64 x 9) y) (*.f64 (*.f64 (*.f64 z 4) t) a)) b) (*.f64 z c)) < -2.50679912975147289e296

    1. Initial program 57.7

      \[\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} \]

    2. Simplified23.7

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(t, a \cdot -4, \frac{\mathsf{fma}\left(x, 9 \cdot y, b\right)}{z}\right)}{c}} \]

    3. Taylor expanded in t around 0 27.3

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{b}{c \cdot z} + 9 \cdot \frac{y \cdot x}{c \cdot z}\right) - 4 \cdot \frac{a \cdot t}{c}} \]

    4. Applied egg-rr15.8

      \[\leadsto \left(\frac{b}{c \cdot z} + 9 \cdot \color{blue}{\left(\frac{y}{c \cdot z} \cdot x\right)}\right) - 4 \cdot \frac{a \cdot t}{c} \]

    5. Applied egg-rr9.2

      \[\leadsto \left(\frac{b}{c \cdot z} + 9 \cdot \left(\frac{y}{c \cdot z} \cdot x\right)\right) - 4 \cdot \color{blue}{\left(\frac{a}{c} \cdot t\right)} \]

    if -2.50679912975147289e296 < (/.f64 (+.f64 (-.f64 (*.f64 (*.f64 x 9) y) (*.f64 (*.f64 (*.f64 z 4) t) a)) b) (*.f64 z c)) < -2.70599602389155958e-120

    1. Initial program 0.7

      \[\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} \]

    if -2.70599602389155958e-120 < (/.f64 (+.f64 (-.f64 (*.f64 (*.f64 x 9) y) (*.f64 (*.f64 (*.f64 z 4) t) a)) b) (*.f64 z c)) < 2.08275401317805579e51

    1. Initial program 15.4

      \[\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} \]

    2. Simplified1.2

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(t, a \cdot -4, \frac{\mathsf{fma}\left(x, 9 \cdot y, b\right)}{z}\right)}{c}} \]

    3. Applied egg-rr1.2

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(t, a \cdot -4, \frac{\color{blue}{x \cdot \left(9 \cdot y\right) + b}}{z}\right)}{c} \]

    if 2.08275401317805579e51 < (/.f64 (+.f64 (-.f64 (*.f64 (*.f64 x 9) y) (*.f64 (*.f64 (*.f64 z 4) t) a)) b) (*.f64 z c))

    1. Initial program 32.5

      \[\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} \]

    2. Simplified21.3

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(t, a \cdot -4, \frac{\mathsf{fma}\left(x, 9 \cdot y, b\right)}{z}\right)}{c}} \]

    3. Taylor expanded in t around 0 17.1

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{b}{c \cdot z} + 9 \cdot \frac{y \cdot x}{c \cdot z}\right) - 4 \cdot \frac{a \cdot t}{c}} \]

    4. Applied egg-rr14.5

      \[\leadsto \left(\frac{b}{c \cdot z} + 9 \cdot \color{blue}{\left(\frac{y}{c \cdot z} \cdot x\right)}\right) - 4 \cdot \frac{a \cdot t}{c} \]

    5. Applied egg-rr10.9

      \[\leadsto \left(\frac{b}{c \cdot z} + 9 \cdot \left(\frac{y}{c \cdot z} \cdot x\right)\right) - 4 \cdot \color{blue}{\left(\frac{a}{c} \cdot t\right)} \]

    6. Applied egg-rr9.9

      \[\leadsto \left(\frac{b}{c \cdot z} + 9 \cdot \left(\frac{y}{c \cdot z} \cdot x\right)\right) - 4 \cdot \color{blue}{\frac{a}{\frac{c}{t}}} \]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification4.9

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} \leq -2.506799129751473 \cdot 10^{+296}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{b}{z \cdot c} + 9 \cdot \left(x \cdot \frac{y}{z \cdot c}\right)\right) - 4 \cdot \left(t \cdot \frac{a}{c}\right)\\ \mathbf{elif}\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} \leq -2.7059960238915596 \cdot 10^{-120}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c}\\ \mathbf{elif}\;\frac{\left(\left(x \cdot 9\right) \cdot y - \left(\left(z \cdot 4\right) \cdot t\right) \cdot a\right) + b}{z \cdot c} \leq 2.0827540131780558 \cdot 10^{+51}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(t, a \cdot -4, \frac{b + x \cdot \left(9 \cdot y\right)}{z}\right)}{c}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{b}{z \cdot c} + 9 \cdot \left(x \cdot \frac{y}{z \cdot c}\right)\right) - 4 \cdot \frac{a}{\frac{c}{t}}\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022130 
(FPCore (x y z t a b c)
  :name "Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm  from diagrams-solve-0.1, J"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (/ (+ (- (* (* x 9.0) y) (* (* (* z 4.0) t) a)) b) (* z c)) -1.100156740804105e-171) (/ (+ (- (* (* x 9.0) y) (* (* z 4.0) (* t a))) b) (* z c)) (if (< (/ (+ (- (* (* x 9.0) y) (* (* (* z 4.0) t) a)) b) (* z c)) 0.0) (/ (/ (+ (- (* (* x 9.0) y) (* (* (* z 4.0) t) a)) b) z) c) (if (< (/ (+ (- (* (* x 9.0) y) (* (* (* z 4.0) t) a)) b) (* z c)) 1.1708877911747488e-53) (/ (+ (- (* (* x 9.0) y) (* (* z 4.0) (* t a))) b) (* z c)) (if (< (/ (+ (- (* (* x 9.0) y) (* (* (* z 4.0) t) a)) b) (* z c)) 2.876823679546137e+130) (- (+ (* (* 9.0 (/ y c)) (/ x z)) (/ b (* c z))) (* 4.0 (/ (* a t) c))) (if (< (/ (+ (- (* (* x 9.0) y) (* (* (* z 4.0) t) a)) b) (* z c)) 1.3838515042456319e+158) (/ (+ (- (* (* x 9.0) y) (* (* z 4.0) (* t a))) b) (* z c)) (- (+ (* 9.0 (* (/ y (* c z)) x)) (/ b (* c z))) (* 4.0 (/ (* a t) c))))))))

  (/ (+ (- (* (* x 9.0) y) (* (* (* z 4.0) t) a)) b) (* z c)))