Average Error: 30.4 → 0.3
Time: 17.8s
Precision: binary64
\[-1 \leq x \land x \leq 1\]
\[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]
↓
\[\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, \mathsf{fma}\left({x}^{8}, -0.00023644179894179894, \mathsf{fma}\left({x}^{6}, -0.0007275132275132275, {x}^{4} \cdot -0.06388888888888888\right)\right)\right) \]
(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))
↓
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma
  0.16666666666666666
  (* x x)
  (fma
   (pow x 8.0)
   -0.00023644179894179894
   (fma
    (pow x 6.0)
    -0.0007275132275132275
    (* (pow x 4.0) -0.06388888888888888)))))
double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}
↓
double code(double x) {
	return fma(0.16666666666666666, (x * x), fma(pow(x, 8.0), -0.00023644179894179894, fma(pow(x, 6.0), -0.0007275132275132275, (pow(x, 4.0) * -0.06388888888888888))));
}

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end
↓
function code(x)
	return fma(0.16666666666666666, Float64(x * x), fma((x ^ 8.0), -0.00023644179894179894, fma((x ^ 6.0), -0.0007275132275132275, Float64((x ^ 4.0) * -0.06388888888888888))))
end

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]
↓
code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 8.0], $MachinePrecision] * -0.00023644179894179894 + N[(N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision] * -0.0007275132275132275 + N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * -0.06388888888888888), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

\frac{x - \sin x}{\tan x}
↓
\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, \mathsf{fma}\left({x}^{8}, -0.00023644179894179894, \mathsf{fma}\left({x}^{6}, -0.0007275132275132275, {x}^{4} \cdot -0.06388888888888888\right)\right)\right)

Error

Bits error versus x

Target

Original30.4
Target0.8
Herbie0.3
\[0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Derivation

  1. Initial program 30.4

    \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

  2. Taylor expanded in x around 0 0.3

    \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} - \left(0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \left(0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + 0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8}\right)\right)} \]

  3. Simplified0.3

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, \mathsf{fma}\left({x}^{8}, -0.00023644179894179894, \mathsf{fma}\left({x}^{6}, -0.0007275132275132275, {x}^{4} \cdot -0.06388888888888888\right)\right)\right)} \]

  4. Final simplification0.3

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, \mathsf{fma}\left({x}^{8}, -0.00023644179894179894, \mathsf{fma}\left({x}^{6}, -0.0007275132275132275, {x}^{4} \cdot -0.06388888888888888\right)\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2022129 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :herbie-target
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))